初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。
通常の位相を持った数直線Rから原点0を除いた位相空間をXとする。X上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈Zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合X/~をYとおく。次の各問に答えよ。
(1)π;X→Yを写像とするとき、Y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。
(2)Yは第2可算公理を満たすことを示せ。
(3)商空間Yはハウスドルフ空間になることを示せ
まず(1)はできました。次に(2)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第2可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか?できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(3)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
> π;X→Yを写像とするとき
これは「商写像」の書き間違いですよね?
(2)
Yの開集合をπで写して基底の和で表し、それをπによる逆像を考えます。
(3)
Yの異なる2点[x],[y]∈Yを任意に与えます。
xとyが異符号ならば自明なので、同符号のときだけ考えます。さらに、x,y>0としても一般性を失いません。
このとき、
(2^(n-1))y<x≦(2^n)y
となる整数nが存在することを利用します。
そのあとどういう近傍を取ればいいか考えてみてください。
回答ありがとうございます。
>これは「商写像」の書き間違いですよね?
すいません。。脱字があったようです。
ご指南ありがとうございます。ちょっと考えてみます。
No.2
- 回答日時:
この手の問題は
No.1さんのように定義に従って確実に示す方法を理解しないといけません.
たぶん,第二可算公理というものを理解してないのでしょう.
定義だけなら第二可算公理と可分は無関係です.
もう一つの方針は
問題の商空間Yがどのような空間なのかを考えることです.
Yと同相な空間で簡単なものがあればほとんど自明です.
そして,Yはある有名な集合と同相になるはずで
そうなると(2)(3)は自明です.
直線x+ky-k=0とy=-2^n+1(nは整数)の交点を考えるとYの点が定まるんです.
これがYとある集合との同相写像を構成するはずなので
(2)(3)はすぐでてくるはず
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1番です。
> すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか?
ハウスドルフ空間が何か、商位相が何かがわかってないみたいにみえます。
1番で、
> (2^(n-1))y<x≦(2^n)y
という不等式を書きました。
Xで
(1)中心x半径aの開円盤
(2)中心(2^(n-1))y、半径bの開円盤
(3)中心(2^n)y、半径2bの開円盤
を作って、
B(x,a)、B((2^(n-1))y,b)、B((2^n)y,2b)のうちどの二つも共有点を持たないように正数aとbを取れるかどうか考えてください。
商位相を理解していればあとはわかるはず。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 日本語 「に」について 9 2022/10/25 16:32
- 物理学 相対性理論を時空変換で縛るのが間違ってますよね? 4 2023/03/14 17:43
- AI・ロボット chat.openAIの限界。私は「何事にもやる気が起きない」と相談して、対策よりも原因に付いて 3 2023/04/13 11:34
- カスタマイズ(車) 80スープラ(前期型)のライトコントロールスイッチについての質問です。 2 2023/04/04 17:00
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 宇宙科学・天文学・天気 銀河のハビタブルゾーンを確率的セルオートマトンという数値的にシミュレーションした結果、「群島」の様な 2 2023/06/06 23:10
- 数学 多様体の質問です。 S^1={(a_1,a_2)|a_1^2+a_2^2=1}と T^1=R/Z(R 1 2023/05/18 21:14
- 物理学 真空の質量 3 2023/02/25 11:20
- Visual Basic(VBA) VBAで早押しゲームを作りたい 4 2022/05/12 13:46
- 物理学 電磁波に関する問題 2 2023/01/31 13:52
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
f^(-1)(f(P))=Pを示したい
-
k代数、環準同型 画像の例3に関...
-
閉部分空間
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
空写像って何ですか
-
虚数への写像
-
合成写像gofが全射 かつ 写像g...
-
「十人十色」ならば「百人百色...
-
微分方程式の線形、非線形の証明
-
LaTeX 写像式を描きたい
-
ベクトル空間 と 線形空間 では...
-
U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が...
-
A加群A(Λ)からA加群Mへの準同...
-
"自然な同型(標準的同型)"の決...
-
行列の像と核の問題です。教え...
-
テンソル積についての質問です...
-
写像がwell-definedであること...
-
Eを体、PをEに含まれる素体とす...
-
全単射の具体例
-
行列の階数
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報