仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

【問題】
平面上にn本の直線をひいたときに、直線によって分けられる部分のうち、
面積の有限な部分の個数をf(x)
面積の無限な部分の個数をg(x)
とする
ただし、どの2本の直線も平行ではなく、どの3本の直線も1店で交わることはないものとする
f(n+1)、g(n+1)をそれぞれn、f(n)、g(n)を用いて表し、それを用いてf(6)、g(6)の値をそれぞれ求めよ


私はこれを、n=4までを図示してf(x)、g(x)の数をそれぞれ数え、
「よって、f(n+1)=f(n)+n-1、g(n+1)=g(n)+2と推測できる」
としてf(n+1)、g(n+1)を求め、n=4までは具体的に図で個数を数えたので
f(6)=f(5)+4={f(4)+3}+4=6+4=10
(g(6)も同様)
として求めました。

答えは合っていますが、記述式の問題だと「推測できる」としてはっきり根拠がないので満点はもらえないでしょう。
もしこの解答の補足をするならどのようにすべきでしょうか?


よろしくお願いします;

A 回答 (2件)

推測だけで終わる訳にはいきませんから、


理由を簡単に書いておくとよいです。

n 本めの直線は、それまでの n-1 本の直線との
交点によって、n-2 本の線分と
2 本の半直線とに分割されます。

半直線は、面積無限の図形を
面積無限の図形 2 個に分割します。

線分は、面積有限の図形を
面積有限の図形 2 個に分割するか、
面積無限の図形を
面積無限の図形 1 個と面積有限の図形 1 個に
分割するかのどちらかです。

以上により、n 本めの直線を引くことで、
面積無限の図形は 2 個、
面積有限の図形は n-2 個 増えることになります。

それを式で書けば、貴方の漸化式になりますね。
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この回答へのお礼

なるほど…
自分は完全にひらめきで推測して、こうじゃないかな?って式にしたのでなぜこうなるか、というのがきちんと記述できなくて困ってました;

>n 本めの直線は、それまでの n-1 本の直線との交点によって、n-2 本の線分と2 本の半直線とに分割されます。
問題集ではそれぞれn+1,n.n-1で説明されていたので、あなたの解説との2通りで見比べたらやっと頭の中で解答までの道がつながりました(^^;)

今回の問題に限らず、こうした問題はわりとひらめきで解いちゃうことが多く、合っていてもたまたま感が強くて不安なので、論理的に記述できるように訓練していきたいと思います;
詳しく書いていただき、ありがとうございました☆

お礼日時:2011/10/04 10:06

この問題のキモは、「n本目の直線は既存の(n-1)本目の直線全てと交わる」って


ことだけですからね。「n本目の直線は既存の(n-1)本目の直線全てと交わる」って
文言をどこかに入れさえすれば推測だろうと何だろうと満点になるんじゃないかと。


「要はn本目の線を引いた時、最初に点が交わるときに無限面積が一個増え、
2点目に交わるときに有限面積が一個増え、3点目に交わるときも有限面積が
一個増え、・・・・・・・・(n-1)点目に交わったときは有限面積と無限面積が一個ずつ
増える」ってことなんでしょうけど。

じゃあn=10000の時も同じなのかと聞かれたら、感覚的には同じであると分かるが、
明確な根拠を論述するのは超難解でしょう。数Aくらいでそこまで求められることは
ないかと。解答も見ていると思いますが、本当の正解も推測みたいなものですよね。
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この回答へのお礼

そうですね…
自分はこうした問題を感覚で解いちゃうことが多くて根拠の論述に困るんです;;
たまたま感が強いなって自分でも思うので不安なんですよね…

今回もひらめいて式にできた感じなので問題のキモを文字にしてくださりありがとうございます!
ちゃんと論理的に記述できる訓練もしていこうと思います(> <)

お礼日時:2011/10/04 09:59

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