物理I 摩擦力を介した２物体の運動 図のように，

水平な床の上に質量Mの板Bがあり，その上に質量mの物体Aが置かれている。板Bと物体Aとの間には摩擦がある。静止摩擦力をμO，動摩擦係数をμ，重力加速度をgとする。

（１） 板Bに加える力FがFcより小さいとき，物体Aと板Bはいっしょに動く。
(ア) 物体Aの加速度はいくらか。
(イ) このとき，物体Aが板Bから受ける力のχ成分はいくらか。
（２） 板Bに加える力Fを大きくしていって，物体Aが板Bの上をすべり出そうとするとき，物体Aが板Bから受けるχ方向の力はいくらか。また，板Bに加える力F(この力がFC)はいくらか。
（３） 板Bに加える力FがFCより大きいとき，床に対する物体A，板Bの加速度をそれぞれα，βとする。
(ア) 物体A,板Bの運動方程式は，それぞれどうなるか。
(イ) 物体Aが板Bの上を距離ｌだけ動いて，板Bの端に到達するまでに要する時間はいくらか。

このそれぞれの問いの答えをお教え下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/10/03 10:03

運動方程式を作る手順。

(1)各物体について、その物体に働く力をすべて調べ上げます。
以下は、すべての物体について、個々別々に考えていきます。
(2)物体が受けるであろう加速度の向き（速度の向きではないので注意）を正の向きに取り、加速度を適当な変数に当てます（たとえば、物体Ａには加速度α，物体Ｂにはβなど）。
加速度の向きが判然としない場合もありますが、そのときは、適当に定めて良いのです。
なお、問題の内容によっては、同じ大きさの加速度を受けている物体が他にある場合も少なくないですから、加速度の種類は物体数より少なくなる場合もあります。大いに減らしましょう。
(3)各物体について、その物体に働いている力の、加速度の向きの成分を求め、その合計を合力とします。加速度の方向と合力の方向は常に一致しますので、加速度の方向成分の和が、必ず合力になっているのです！
ちなみに、加速度の方向と垂直な方向では、力は釣り合っています（加速度が０だから、合力も０だと考えれば良いですね）。
(4)各物体について、運動方程式を立てます。
mi・α=Ｆ　
なお、
miは、その物体の質量
αは、その物体の加速度（向きを正負の符号で表した向きを含むものとします）
Ｆは(3)で求めた合力
　
(5)(4)で得られた方程式を連立方程式として解いて、各物体の加速度等を求めます。なお、(2)で加速度の方向を適当に定めた場合は、求めた加速度の値が負になってくる場合もあります。これは、想定した方向と逆向きに加速度が働いていたことを意味すると解釈すれば良いですね。
　
問題
（１）板Ｂには、Ｆc,重力Ｍｇ，床面からの垂直抗力Ｎ，Ａからの垂直抗力ＮB，Aから受ける静止摩擦力(-ｆ)が働いています。
摩擦力が静止摩擦力であるのは、Ａ，Ｂが互いに他に対して静止しているからです。
静止摩擦力は基本的に数式では表せないことに注意して下さい。単に釣り合いの関係から求めるしかないのです（うっかり、μ0・ｍｇなどとしてしまわないように！）
負号を付したのはｘ軸の負の向きに働いていることが明白だからです。

板Ｂは右向きに加速するのは明白ですから、その加速度をｘ軸方向に、大きさαとしてみましょう。

Ｂに働く力のうち、ｘ軸方向の成分を持つのはＦcと-fだけなので、合力はｘ軸の正の向きに　Ｆc-f

∴運動方程式は
Ｍ・α＝Ｆc-f　　　式（ア）

Ａについて。
Ａが受ける力はＡ自身の重力ｍｇ
Ｂからの垂直抗力ＮB（これは、ＮBと、作用反作用の関係にある力だからＮBとして良いですね）
Bから受ける静止摩擦力ｆ（これも、Ｂに働く静止摩擦力と、作用反作用の関係にある力だからｆとして良いです）。

Ａの加速度は、ｘ軸の正の向きに、大きさα（ＡはＢと一緒に動くのですから、Ａの加速度はＢと同じ大きさと向きになっているはずですね）。

Ａにはたらく力のうち、ｘ軸方向成分をもつのはｆだけなので、ｘ軸方向の合力＝ｆ

∴運動方程式は
ｍ・α＝ｆ　　式（イ）

（ア），（イ）を連立方程式として解きます。(ア)＋(イ)とすると、簡単に解けて
α=…
f=…・Ｆc

板Ａが板Ｂから受ける、ｘ軸方向の力とは、静止摩擦力ｆのことにほかならないですね。

（２）Ａが「滑り出そうとする瞬間」。これは、Ａに作用している静止摩擦力が、最大摩擦力　μ0・ＮB　になったことを意味しています。
ちなみに、静止摩擦力が「公式」で表されるのは、この、最大摩擦力になった場合だけなのです。
他の力は（１）のときと全く同じなので、加速度をα'としますと
Ｍ・α'=ＦC-μ0・ＮB
ｍ・α'=μ0・ＮB
ところで、Ａについてみますと、ｘ軸と垂直な方向（ｙ軸方向とする）には運動していないので、ｙ軸方向では力が釣り合っていることを思い出すと
ＮB=mg
という関係が認められます。これを使うと、上の２式は
Ｍ・α'=ＦC-μ0・ｍｇ
ｍ・α'=μ0・ｍｇ
となるので、
α'=…
ＦC=…

Ａが受ける、Ｂからの力のｘ方向成分(ｆ')は、…

（３）Ａ，Ｂは互いに　μＮB　の大きさの動摩擦力を受けることになります。
（２）で考えた最大摩擦力を　μ・ＮB　に変更し
Ａ，Ｂの加速度をｘ軸方向にそれぞれα，βとして立式すれば良いですね。

Ｍ・β＝Ｆ-μＮB=Ｆ-μ・ｍｇ
なぜなら、ＮBは一貫して　ｍｇと釣り合いの関係にある力であり続けているからです。
ｍ・α＝μ・ｍｇ

Ａは加速度α、初速度０の運動をしますが、Ｂはこの間、初速度０、加速度βで運動しています。問題の時刻までだと
Ａが進行する距離（Ａの変位）＝(1/2)α・ｔ^2
Ｂが進行する距離（Ｂの変位）＝(1/2)β・ｔ^2
Ａ，Ｂの左端が一致するまでの時間と解釈して良いはずですから
(1/2)β・ｔ^2=(1/2)α・ｔ^2＋Ｌ
これを解いて　ｔ=…

（別解）Ｂから見ると、Ａは、α－βの加速度で運動しているものように見えます。（相対速度と同じように、相対加速度というものも考えて良いのです）
Ａはこの加速度で、「後退」して、Ｂの左端に達したとみることができるわけですね。Ａの、Ｂに対する初速度は０ですから
－Ｌ=(1/2)・(α－β)・ｔ^2
これを解いて
ｔ＝…

この回答へのお礼

詳しい解説をつけていただきありがとうございます。
とても参考になりました。
あと、前の質問の回答者さんにもお礼を言わずにベストアンサー押してしまいました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/10/03 21:12