マンガでよめる痔のこと・薬のこと

xについての以下の方程式が正の解と負の解をそれぞれ1つずつもつとき、
定数aの範囲を求めよ。

【自分の解答】
2^x =tとおく。 (t>0)

(与式)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0
2つの解をα、βとすると、解と係数の関係より、
αβ=2a^2 +4a-6=0

[1]αβ<0であればよい。
a^2 +2a-3<0
(a+3)(a-1)<0
-3<a<1

[2]判別式D>0であればよい。
D=a^4 -8a^2-16a+24>0

ここで手詰まりです(>_<)
詳しい解説と解答お願いします。

「指数方程式の解」の質問画像

A 回答 (2件)

> [1]αβ<0であればよい。


間違い。→
>2^x =tとおく。 (t>0) …(☆)
なのでα、βは共に正です。→2つの正の解です。
αβ>0
これは必要条件です。

> [2] D=a^4 -8a^2-16a+24>0であればよい。
これは必要条件に過ぎません。

>2つの解をα、βとすると
tの二次方程式
 t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0 …(◆)
の2つの解をα、β(0<α<β)とすると
と制限しておかないと駄目ですね。

(☆)より x=log[2]t 
xの解が正と負の1個ずつなので
 log[2]α<0 → α<2
 log[2]β>0 → β>2
の条件から
「0<α<2<β」…(△) となる条件(これは必要十分条件です)を求めればいいです。

これから(◆)の左辺を
 f(t)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6
とおくと(△)の必十条件は 次の<1>,<2>を同時に満たすことである。

 <1> f(2)=4(a-(1/2))<0 → a<1/2
 <2> f(0)(=αβ)=2a^2 +4a-6=2(a+3)(a-1)>0 → -3<a<1

aの範囲をまとめると -3<a<1/2
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました☆

お礼日時:2011/10/19 01:12

f(t)=t^2-(a^2)t+2a^2+4a-6=0


の2解をα,β(α<β)とすると

α=2^x
でx<0であることから0<α<1
β=2^x
でx>0であることからβ>1

であることがわかります。

以上のことから
f(0)>0,f(1)<0
となるためのaの条件を求めればよいことがわかります。
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この回答へのお礼

解説ありがとうございました☆

お礼日時:2011/10/19 01:12

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