有効数字とはなんですか？

中学生にもわかるように説明してくだされば幸いです。
色々調べたのですが、よくわからなくて、、
以下の認識で合ってますか？

認識：近似値や測定値を表す数字のうち，実用上有意義な桁数だけとった数字。
また、「有効桁数」とは、有効数字の桁数のこと。

例えば、1．2345という数字があったとしたら、実用上有意義な桁数が3なら、有効数字は1.23で、有効桁数は3桁。

また、０の処理については以下の通り。

0ではない数字に挟まれた0は有効である。例えば、

60.8 は有効数字3桁である。
39008 は有効数字5桁である。
0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。例えば、

0.093827 は有効数字5桁である。
0.0008 は有効数字1桁である。
0.012 は有効数字2桁である。
小数点より右にある0は有効である。例えば、

35.00 は有効数字4桁である。
8 000.000000 は有効数字10桁である。

No.4 ベストアンサー 回答者： sasurai_trumpet 回答日時： 2011/10/13 00:31

こんばんは、はじめまして。

有効数字、確かによくわからない考え方ですよね。
（私も習った当初はちんぷんかんぷんでした）

そもそも、
「有効数字とはどんな時に使う物なのか？」とか、
「有効数字は何のために考えるのか？」がわからないと、
ただ、「考えるのがとても厄介なよくわからない数字」になってしまうと思います。

という事で、有効数字の利用例を１つだけ。
分かりやすい所で、両端に丸い棒が立った、H型の鉄棒の幅を計る事にしてみましょう。

両端の丸い棒は、30cmものさし（mmの目盛りあり）で太さを調べてみると4.8cm
間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺（mmの目盛りなし）で長さを調べて85cm
さて、鉄棒の端から端までの幅はいくつなのかを考えます。

両端の丸い棒は左右で2本あるので、計算式は
(4.8cm)×2 + 85cm = 9.6cm + 85cm = 94.6cm
になりますが、この"94.6cm"って、どこまで信用できる良い数字ですか？

両端の丸い棒は、mmの目盛りがある30cmものさしで調べたので、0.1cm単位で正しいです。
でも、間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺（mmの目盛りなし）で調べているので、1cm単位までしか分かっていませんよね？
おそらく、84.5cm～85.4cmの間なら、"だいたい85cm"になってしまう。
この場合、鉄棒の幅は"94.6cm"と言い切ってしまって良い物でしょうか？

1cm単位で調べた物がある以上は、その合計の幅の94.6cmも1cm単位までしか正確ではない。
と言う事は、この94.6cmの有効数字は2桁。6を四捨五入して約95cmとすれば確実です。

確か、中学校（？）で出てきた有効数字とはイメージがだいぶ異なると思いますが、実用例が頭に入っていると理解の度合いも変わってくるのではないでしょうか？

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/13 01:42

＞　計算式は (4.8cm)×2 + 85cm = 9.6cm + 85cm = 94.6cm

＞　になりますが、この "94.6cm" って、どこまで信用できる良い数字ですか？

"4.8cm" が 4.8±0.1cm、"85cm" が 85±1cm であれば、
(4.8cm)×2 + 85cm は 94.6±1.2cm。93.4～95.8cm だ。
それに対し "95cm" は 95±1cm だから、
(4.8cm)×2 + 85cm = 9.5cm では確実でない。
もし、真値が 93.45cm だったら何とする？

これが、「有効数字」が有効でない実例だ。
「実用上有意義」すなわち「だいたいこんなもん」という言い方が
言いえて妙な理由でもある。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/11 14:55

学校教育で「有効数字」と呼ばれるものには、

ふたつの考えが混ざってしまっている。
ひとつは、近似値について、
並べた数字の一番右の桁が±1以内の誤差を含む
ように表示する桁数を調節するということ。
理科(化学、物理)の教科書には、
測定値の読み取りと表記に関して
そのことが書いてある。
ふたつめは、概数の計算について、
足算引算では末位を大きいほうに揃え、
掛算割算では桁数を少ないほうに揃えるということ。
こちらは、算数の教科書にでてくるが、
理科の計算で多用される。

測定を丸めた結果も、計算を丸めた結果も、
どちらも同じ「有効数字」と呼んでしまう
ことには大きな問題がある。
上記ふたつめのルールで計算を行うと、
ひとつめの意味での精度が保たれないからだ。
例えば、1.2 + 3.4 の答えは 4.6 になるが、
1.2 が 1.2 ± 0.1 を 3.4 が 3.4 ± 0.1 を表す
とすれば、1.2 + 3.4 は 4.6 ± 0.2 になる訳で、
黙って 4.6 と書いたときの範囲 4.6 ± 0.1 を
はみ出してしまっている。

有効数字は、文字通り「有効」な数字ではなく、
当たらずとも遠からずな、「実用上」有効と
扱われる数字で、近似値の慣習的な目安
と考えるほうが無難だろう。

No.2 回答者： nekonynan 回答日時： 2011/10/11 13:49

有効数字の意味です　基本概念

０．１　とあれば一般に小数点２桁目を四捨五入してることを示します
０．１４～０．０５　のどれかであれば小数点２桁目を四捨五入すれば０．１に成ります

とろこが

０．１０　と有効数字が１桁増えると意味が違ってきます
小数点３桁目を四捨五入してることを示します
したがって０．１０４～０．０９５　と範囲があり得るってことです


０．１　⇒０．１４～０．０５（どれか
０．１０⇒０．１０４～０．０９５（どれか
て意味です

従って示している範囲の違いが判ると思います

これが有効桁数の意味なんです

０．１と０．１０の有効桁数違いが理解できたと思います

すなわち誤差の範囲表しているのです

0.1と0.10では１０倍誤差の範囲が広いってことです

これが理解できなけらば・・・駄目です

基本をまず抑えて下さい



　　　

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/11 09:36

> 0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。

…(☆)

>例えば、
> 0.093827 は有効数字5桁である。
> 0.0008 は有効数字1桁である。
> 0.012 は有効数字2桁である。

> 小数点より右にある0は有効である。…(★)

>例えば、
>35.00 は有効数字4桁である。
この例は当てはまりますが この(★)は(☆)の記述と相容れません。
(☆)の下の例が
ここの（★）の記述に該当しますが「有効でない」ので矛盾します。
(★)の記述は修正が必要でしょう。

他の記述は問題ないと思います。

有効桁数についての記述は
四則演算や√、三角関数、log、指数関数などその他の関数の計算結果の有効桁数や桁落ちなどについても言及しないと不十分かと思います。

・加減算における有効桁数の桁落ち
　　例）123.54-123.52=0.02　（有効桁数は1桁）
・乗除算や自乗演算における見かけ上の有効桁数の増加の問題
　　23.45*46.93=1100.5085 （実際の有効桁数は4桁）
・有効桁数の異なる数値間の演算結果の有効桁数は最も少ないものに合わせる問題　　　　
　　例）12.5+1.04985=13.5　　（小数点の位置を合わせて少ない方の有効桁数に合わせる）
・先頭のゼロでない桁が1の場合と9の場合の問題
　　例）1.000と0.999　（どちらも実質上の有効桁数は3桁）
・根号の中と根号をとった後の有効桁数の問題
　　例) √42.25=6.5 　（√内が有効桁数4、計算した右辺の有効桁数は2）