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マイナスとマイナスをかけるとなぜプラスに・・・・・なるのでしょうか?!

A 回答 (8件)

わが社には5つの支社があります。


そのうち3つの支社で利益が-10万円となりました(つまり赤字を出したのです)。
この赤字の合計は、-10万×3=-30万です。

さて、この3つの支社を廃止してしまえば、わが社の利益は30万増えることになります。
これを式で表すと、
-10万×(-3)=30万
ですね。

どうでしょうか・・・
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幾何学的に考えると、-をかけることは、


大雑把には向きを逆転してると考えられます。
鏡に映った自分は向きが変わってますが、
鏡二つを通した自分は同じ向き付けになる
というのも、根本的には(-1)*(-1)=1だと思うと
不思議な感じです。
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そう「なる」のではありません。


そうしたほうが都合が良いので、そう「している」だけのことです。

こういう例えが適切かどうかわかりませんが、地球の周りを太陽が回っている、という物理学をつくることは決して不可能ではありません。太陽の周りを地球が回っている、としたほうが単純な学問体系で済む、というだけなのです。

同じようなことを矢野先生著のブルーバックス「数学質問箱」の非ユークリッド幾何学や1+2=0の数学の項などで説明されていたような気がします。不確かな記憶ですが。
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数学の世界は、一口にいうと、「無条件に正しいと認めたいくつかの法則」(公理といいます)から出発して(公理に何を選ぶかは一般に自由)、その後はそれらの法則をいろいろ組み合わせて、他にどんな法則が成り立つかを「証明」していき(その結果を定理といいます)、有益そうな定理をだんだんと増やしていこうとする世界です。



たとえば、整数の世界={・・・,-2,-1,0,1,2,3,・・・}というのは、突き詰めて考えると、たとえば次の7つの法則を無条件に認めた上で、他の定理が次々に証明され、ものの勘定をするための有効な道具として構成された「数の世界」の1つの例と見ることができます。

[1]+(足し算)と×(掛け算)という2つの計算(演算といいます)が行える
[2](a+b)+c=a+(b+c)が成り立つ (和の結合法則)
[3]どんな数を+足しても相手を変えない数がある(それを0(零)と書こう)
[4]ひとつ数を決めれば(たとえばa)、必ず-aがある(これをaに対する負の数と呼ぼう)
[5](a×b)×c=a×(b×c)が成り立つ (積の結合法則)
[6]a×b=b×aが成り立つ  (交換法則)
[7]a×(b+c)=a×b+a×cが成り立つ (分配法則)

さて、これらの計算パターンを、議論の出発点として無条件に認めた上で、

まず、[3]と[7]から a×0=a×(0+0)=a×0+a×0 がいえて、結局 a×0=a×0+a×0 が成り立ちます。
 ここで、a×0は1つの数になるから、その負の数-(a×0)が存在するはずなので、それをこの式の両辺に左(右)から足します。すると、
 -(a×0)+a×0=-(a×0)+(a×0+a×0)
 よって、[2][4]から「0=a×0」(0をかけると0になる)が証明されます。

次に、これは証明上の1つのアイディアですが、
式 (-a)(-b)+(-a)b+ab を2通りに変形してみますと、
1つは、(-a)(-b)+(-a)b+ab=(-a)(-b+b)+ab=-a×0+ab=0+ab=ab
2つは、(-a)(-b)+(-a)b+ab=(-a)(-b)+(-a+a)b=(-a)(-b)+0×b=(-a)(-b)+0=(-a)(-b)
が得られますが、この2つはもともと同じものだから、 (-a)(-b)=ab と証明されます。
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過去に同じ質問(下のURL)があり,完全な回答がなされています。



簡単に言えば,正の数の範囲の計算法則が,負の数の範囲でも通用するように定めると,必然的に負の数どうしの積は正の数になってしまうということです。

演算を定める根拠を,具体例(演算を定めたあとに意味をもつもの)で説明することはできないのに,学校では例だけで済まされることが多いので,疑問が残りやすいのだと思います。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=541756
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質問の検索はなさいましたか?同様の質問が出ております。


私なりの説明ですが、
(-1) × (-1) = -1 とすると
(-1) × 1 = -1 だから
(-1) × (-1) = (-1) × 1
両辺を(-1)で割って
(-1) = 1
明らかに矛盾。
なのでマイナスかけるマイナスはプラス。
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No.1の方と似たような例を挙げます。


(1)あるお父さんは、毎日500円ずつ、お小遣いを使っています。(毎日小遣いが減っていくわけです。)
3日前は、今お父さんが持っている小遣いと比べて、どれぐらい違っていたのでしょう。
(-500)×(-3)=1500  答え、1500円多かった。

(2)雪どけの季節、ある山では、毎日4cmずつ、雪が解けて低くなっていきます。
5日前には、今日の高さに比べて、雪の高さはどうだったのでしょう。
(-4)×(-5)=20  答え 20cm高いところにあった。

このような考え方でどうでしょうか。でも、悲しいかな、数学は、進めば進むほど、実生活の感覚では説明できない数式が続々出現してきます。

数の感覚を磨いていってくださいね。学生時代に挫折した一人より。
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まあ、深く考えると「なんで?」って問題ですね、これは。

あなたが数直線上にいる状態で考えてみましょう。
例として (-2)×(-3)=6 を考えます。
数直線上で-2進むというのは、正の方向を前・負の方を後ろと考えると(正の方向を向いている)、後ろに2つ進むということです。(これで向いてる方向は負です。・・・(1))ここで今いる-2の地点を-2=0ととらえて、今度は-3をかけます。ということは
(1)より正の方向に2を三つ分ということです。
これで6になりますね?
というわけで、(-)×(-)=(+)になるわけです。
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