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例えば3^x=5^y=√15の各辺の対数をとるとき、 答えでは10を底としてるのですが、 どんな数を底にとるか、見付けるコツはないんでしょうか??

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A 回答 (2件)

高校の数学の場合 log の底が書かれていなければその対数の底は10ということになっています。

大学へ行くと教養課程の数学でたぶん ln というのが出て来ます。これは底が e だよということです。ちなみに e=2.71828182845905・・・ です。
このeという無理数が実に面白いのですよ(^_^)
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logの底はeか10か2です。



試しにNを底にとると

3^x = √15

logN(3^x)=logN(√15)

x logN(3)=logN(√15)

x = logN(√15)/logN(3).......式(1)

x = {log(√15)/logN(N)} / {logN(3)/logN(N)}

x = log(√15)/log(3)......式(2)

式(1)と式(2)は等しい、つまり底は任意です。
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ln log」に関するQ&A: logとln

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Q自然対数をとる?とは・・・

y=x^x 両辺の自然対数をとると logy=xlogx
これはどういうことなのかさっぱりです。

ログについては、たとえばlog(小さい2)8 なら2を何乗かしたら8になります ってことは2を3乗すると8だから log(低?が2)8の答えは3だ!
 ということなどは分かるのですが、一番上の式の意味と自然対数をとるという意味が分かりません。
「自然対数」とか「常用対数」とか言葉はしっているのですが、内容がいまいち分からなくて・・・
お願いします!!!

Aベストアンサー

2^3=8 → log(2)8=3 
左の等式において、両辺にlog(2)をつけてみると
  log(2)2^3=log(2)8
  3log(2)2=log(2)8
     3=log(2)8  と最初の右の等式と同じに変形できます。

このように、等式(両辺とも正)は、両辺を底が同じ対数の真数に入れる
ことができます。
底がeのとき、自然対数をとるといってます。

だから、y=x^xはeを底とする対数をとって、
 log(e)y=log(e)x^x=xlog(e)x
とできます。(普通、(e)は省略されますが)

Q指数関数の両辺の対数をとる・・・の意味

高校数学IIの分野の指数関数、対数関数に関する質問をします。

よく問題の解説中で、指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

 例えば、1次方程式の両辺の対数をとっても方程式は成立するのでしょうか、それとも両辺の対数をとることができるのは指数関数だけなのでしょうか?

 例えば (1)[指数関数の逆関数を作る] (2)[指数関数の両辺の対数をとる] ←(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、どのように関連しているのでしょうか?

 以上、対数という概念を理解したいので質問します。なにか意見があれば、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

>指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

通常、式変形の1つだけを取り出しても、意味ははっきりしないと思います。
例えば2次関数の平方完成では、1つ1つの式変形の意味というよりは、
最終的に平方完成された式に意味があるのではないかと思うのです。

そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
・微分するとき(対数微分法と言います)
・積分するとき(区分求積法と言います)
・積を和に直すとき(例えば相加・相乗平均の証明など)
こういった目的の下、「log を取りに行く」訳です。
(1次関数の log をとるのはないと思います。
なぜならば log をとったほうが、より複雑になってしまうからです)

log というのはどういう性質があるかと言うと、
「指数のみに着目する」ということになります。

昔、天文学者が距離を測るのに、桁数だけ分かれば良いと思っていたので、
桁数だけ分かるようにしたものが対数です。(実際には先頭の数字とかも分かるが)
例えば地球から2000000000kmか2200000000kmかはあまり変わらないなあと
言う感覚です。(どちらも大きすぎる)
収入を言うときに「あの人は8桁だよ」「いや9桁だよ」なんていうのと同じです。

>対数という概念を理解したいので、なにか意見があれば、よろしくお願いします。
数2の三角関数、指数・対数関数というのは数3への準備と言う側面があり、
数3は大学数学の準備という側面があります。
変数を複素数にとると、指数関数と対数関数は逆関数ではありません。
是非「複素解析」を勉強してください。稲妻に打たれたような感じになるでしょう。
あまりの面白さに、「生きてて良かった」、いや、「生まれてきてよかった」
とさえ思えるかもしれません。

こんにちは。

>指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

通常、式変形の1つだけを取り出しても、意味ははっきりしないと思います。
例えば2次関数の平方完成では、1つ1つの式変形の意味というよりは、
最終的に平方完成された式に意味があるのではないかと思うのです。

そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
・微分するとき(対数微分法と言います)
・積分するとき(区分求積法...続きを読む

Qlogのはずし方

対数の計算問題で値を求めるものですが、

(1)log3 15-log3 9=log5/3
(2)log2 40+log2 8=log5
(3)log2 1/3+log8 24=1-2/3 log2

上のように途中までは問題を解くことができたのですがlogをはずすことができません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

なんか計算間違っているようですよ。
(1)log3 15-log3 9=log3 3+log3 5-log3 3-log3 3=1+log3 5-2=
log3 5-1=log5/log3-1=(1-log2)/log3-1=(1-0.3010)/0.4771-1=0.4651
(2)log2 40+log2 8=3log2 2+log2 5+3log2 2=3+log2 5+3=6+log2 5=
6+log5/log2=6+(1-0.3010)/0.3010=6+2.3222=8.3222
(3)log2 1/3+log8 24=log2 1-log2 3+log8 8+log8 3=0-log3/log2+1+log3/log8=
1-log3/log2+log3/3log2=1-0.4771/0.3010+0.4771/3/0.3010=1-1.5850+0.5283=-0.0567

log2・・0.3010
log3・・0.4771
log7・・0.8451
覚え方は「さわいちはしなない、はしごをひとつ:沢一は死なない、はしごを一つ」

なんか計算間違っているようですよ。
(1)log3 15-log3 9=log3 3+log3 5-log3 3-log3 3=1+log3 5-2=
log3 5-1=log5/log3-1=(1-log2)/log3-1=(1-0.3010)/0.4771-1=0.4651
(2)log2 40+log2 8=3log2 2+log2 5+3log2 2=3+log2 5+3=6+log2 5=
6+log5/log2=6+(1-0.3010)/0.3010=6+2.3222=8.3222
(3)log2 1/3+log8 24=log2 1-log2 3+log8 8+log8 3=0-log3/log2+1+log3/log8=
1-log3/log2+log3/3log2=1-0.4771/0.3010+0.4771/3/0.3010=1-1.5850+0.5283=-0.0567

log2・・0.3010
log3・・0.4771
log7・・0.8451
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Q累乗の「対数をとる」の意味

お世話になっております。数学IIの対数関数において、底の変換公式や常用対数の応用で、特に整数の桁を求める公式(定理?)の証明などで

「(常用)対数をとる」という言葉がしばしば現われますが、これはどういう意味をなすのでしょうか。

例えば、6^30の「常用対数をとる」とlog[10]6^30 ですが、これは単に「任意の累乗を真数とした任意の底の対数に書き換える」という事なのでしょうか。

因みに、底の変換公式は特に新たな底が任意の文字で証明がされているため、殊更意味が分からなく、具体的な値の底から、適度に公式どおりに変形して証明を納得する、という中ら強引な解釈をしてしまいました。

実際は、この言葉の意味が何を示すのかが分かりません。アドバイス下さい。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

常用対数と対数は一般性が違います。
常用とつくと底が10と決まっています。
また自然対数というのもあります。これは底がe=2.71・・・という無理数(ネイピア数という)です。
これらの対数は良く使うので用語として定着したのだと思います。

前置きが長くなりました。
「対数をとる」の意味の前に「対数」の意味を押さえましょう。
http://www.minemura.org/juken/taisu.html

対数をとる際、ある底を決めます。
で、対数をとるとは、その底で指数関数を作った場合、
その指数はどうなるかというのを示したものなのです。
つまり、質問者さんが書いたlog[10]6^30をもとに
x = log[10]6^30
とすると
10^x = 6^30
となります。いうまでもないですが、xが対数です。
6^30 という数を 10^x という形にすると、その指数である x はどうなるか?
ということです。