早速ですが、
まず、私がわからない問題のほうを
書きます。
底辺24センチ、高さが7センチ、斜辺がX、そして左下に90度がきて、右下(底辺と斜辺)がθとなっています。

これは、どういった方法で、
右下のθを求めるのでしょう?
左下に90度がきているわけですが、
本来90度は右下にくるべきなんですよね?
そうなると、左右を反転させて、cosにθがくる形にしてから、
何らかの方法で求めるのでしょうか?

三角比をやり始めたばかりで、何に使うのかもわからないまま、
手間取っています。

できれば、わかりやすく教えてもらいたいのですが、
この際多少複雑でもかまいません。
どうかご教授をお願いいたします。

(式と解なんかも書いてくださるとありがたいです)

A 回答 (2件)

三角比の問題ですね。


まずdoliscolさんの間違った考え方を直しましょう。

>本来90度は右下にくるべきなんですよね?

そんなことありません。
三角比sin,cos,tanを使うにあたって必要な条件は直角三角形であることだけです。
求めたい角がどこにあろうと求めることができます。
またまだ右下にないとわからないのであれば
図をまわすか、その角θを右下に訂正した図を書いてやってみましょう。
私はなれるまで図をまわしてましたよ、テスト中もσ(^◇^;)

ではまず書いてみてください。かけましたか?
見てもらえばわかると思いますが
斜辺の長さがわからないのでcosは使えませんね。
ここでわかってるのは90度の角をはさんだ2辺であることから
tanを使いましょう。
tanは求めたい角が右下にある場合、高さ/底辺となりますよね?
ですから7/24といったところでしょう。
あとは表かなんかを用いて角度をもとめるのかな

三角比を何に使うかですが、物理でおもに使いますね。
まぁ簡単にいっちゃえばこういうことです。
たとえば方眼紙である斜線を書いてといわれたどうやって書きます?
おそらく直角三角形書いて
横の長さと縦の長さを求めて書きますよね
この時斜線の長さと三角形の縦横の長さの比を示したものが
三角比sin,cosであり、縦と横の比を示したのがtanなんです。
おぼえちゃえばどーってことないと思います。
角の位置とsin,cos,tanの関係をきちんと覚えてくださいね
sinとcos間違える人多いですから。

ではがんばってください

この回答への補足

早い回答に驚いています。

あ、なるほど、必ずしも右下に90度がこなくとも、
三角比とは直角三角形であれば、
sin、cos、tanの関係は成立するわけですね。
なるほど。

tanとは、90度の角を求めるために、
必ずしも底辺/高さではなくて、
求めたい角が右下にある場合は、
高さ/底辺で、右下の角が求められるんですね?
そんな使い方があるとは、ぜんぜん知りませんでした。
てっきりtanはTの字をなぞる、90度の角のみしか求めることができないのかと思っていました。

では、
すべての条件がまったく一緒の問題で、
求めたい角θが、上にある場合、
これは、どのように求めるのでしょう?
これもkexeさんの説明どうりやると、
底辺/高さで求められるのでしょうか?
角が上にくる場合はまた違うのでしょうか?

また、さらに私の勘違いや、間違いがあれば、先ほどのようにご教授してくだされば、ありがたいです。

補足日時:2001/05/03 09:41
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この回答へのお礼

あ、申し訳ないです、
tanでは90度の角を求めることはできませんね。
kexeさんに教えられたとおりに
やってみたら、
簡単に解けました。
底辺/高さで、上の角θを求めることもできました。

やはり、教える先生によって、こうも理解の度合いが違うものかと痛感しています。
内の学校の先生は非常に教えるのが下手のようです。

まことにありがとうございました。
これで応用が利きそうです。
また、何か不明な点が出てきたら、
質問しますので、そのときは、
同じように回答を下さるのなら、
非常にありがたいと思っています。
今回は、本当にどうもありがとうございました。

お礼日時:2001/05/03 10:09

この三角形は直角三角形ですから、ピタゴラスの定理を用いて斜辺の長さが求められます。



斜辺の長さをxとすると、

x^2=24^2+7^2
  =576+49
  =625 =25^2

で、斜辺xは25と求められます。

以下はkexeさんの捕捉になりますが、コサインは底辺/斜辺ですから、
cosθ=24/25 =0.96

同様にサインは垂辺/斜辺で、

sinθ=7/25 =0.28

後は関数電卓を叩くなり三角比表を調べるなりしてθを求めて下さい。

この回答への補足

はっはぁ~、なるほど、これは
斜辺を先に求めて、
それから、sin、cosで、θを導くというものですか。
私の中ではピタゴラスの定理を用いるという考えすらなかったです。
やはり、導き方は必ずしも一つではない、というところですね。

でも、ベターなtanを使用するやり方に比べて、
かなり高度な気がするのは
私だけでしょうか?

でも、この方法がある、ということが知れて、
私としては、
非常にいい回答をもらったと、
思っています。
すごく、とても参考になりました。

ありがとうございます。
できれば二人に同ポイントずつ差し上げたいのですが、
どうもそれはできないようなので、
1番最初に回答をくれ、私の質問により近い(というか、質問そのものの回答)回答を下さったという意味で、
kexeさんに20ポイントを差し上げることをお許しください。

ありがとうございました。

補足日時:2001/05/03 10:10
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ANo.1の補足の訂正をした場合

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条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
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辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
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 ̄ ̄ ̄ ̄=0     ̄ ̄ ̄ ̄ ̄=0

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  ̄ ̄ ̄ ̄=1             ̄ ̄ ̄ ̄=1
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Q四角形で面積が2倍だと対角線は何倍でしょうか。

軽い質問ですみません。
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できれば式も教えていただけたらとおもいます。
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Aベストアンサー

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・1辺の長さが√2の正方形は面積が2(=√2×√2)
辺の長さは、√2倍になるということです。
正方形は、相似形(同じ形)をしているので、
大きさが変わっても面積が2倍になれば、辺の長さも対角線の長さも√2倍になります。

次に普通の四角形を考えます。
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結果、全体である四角形も面積は2倍になります。

Q角度θと斜辺の長さから底辺と対辺の長さの求め方を・・

すみません、「計算式」を教えて頂きたいのですが、

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底辺と対辺の長さの数字を求めるにはどう計算すればよろしいのでしょうか?

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という式は見つけたのですが、これでは斜辺しか数値が解らず計算できません。

また、勘違いしているかもなのですが
sin=対辺 cos=底辺 tan=斜辺 の事ですよね?
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ここを読んでこい 的なリンクだけのご回答でも全然構いませんので、
何か教えて下さると幸いです。

Aベストアンサー

言葉がずいぶん違うので間違っていたらごめんなさい。

直角三角形で三角関数は定義されます。
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Q四角形の対角線の角度の求め方を教えてくださ。

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Aベストアンサー

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。
もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。

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この4つの三角関数を(※)に代入して arccos...続きを読む

Q数学の問題で。。。0<θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を

数学の問題で。。。0<θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を求めよ
という問題があったのですが、回答を読んでもわかりません。

(1)0<θ<90から0<2θ<180
→これはわかります。

(2)よって、sin2θ>0 ゆえに cos3θ>0
→これも理解できます。 Sin2θ=cos3θだから、Sin2θが0より上なら
cos3θもってことですよね?

(3)0<3θ<270, cos3θ>0 から 0<3θ<90
→これは、本当は3θは0~270度までだけど、
cos3θ>0だから3θの値は0<3θ<90ってことですよね?

(4)よって0<2θ<60, 0<90-3θ<90
→ここがわかりません。なんでよって0<2θ<60なんですか?
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(5)sin2θ=cos3θ を変形すると sin2θ=sin(90-3θ)
ゆえに、2θ=90-3θ θ=18
→そもそも、(1)~(4)までの計算って必要だったんでしょうか?
Sin(90-θ)=cosθになるって公式がわかれば、(1)~(4)までの
ことって不要で、いきなり、cos3θをsin(90-3θ)に変形させれば
いいんじゃないんでしょうか?θじゃなくて3θだから、大きさの確認をしたって
ことですか?
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こういう問題はグラフの概形を描いてθを求めると間違いがないですね。

グラフから 0<θ<90°では

y=sin2θとy=cos3θ

が交点を持つのは1つだけであり、かつその交点のθは 0°<θ<30°であることが
明らかなのでそのθに対して

sin(2θ)=cos(3θ)=sin(90°-3θ)
を満たすのは
2θ=90°-3θ
の場合しか存在しないといえる。
これから
5θ=90°
∴θ=18°
が出てくる。

このθがグラフのただ1つの交点のθと一致することが確認できる。

質問者さんの解答はグラフで言えば明らかなことを数式を使い求めていることになりますね。

>特に(4)がわかりません。
(3)までで sin2θ>0, cos3θ>0(ただし0<θ<90°) が分かっているので
0<3θ<90°∴0<θ<30°…(■)
が言えるので(■)の式を2倍すれば(4)の
0<2θ<60°
の不等式が出てきます。

また公式を使ってcos(3θ)=sin(90°-3θ)と変形すればsin同士の比較が出来るので
「90°-3θ」が出てきて、(■)から
0<90-3θ<90°
が言えて
~~~~~~~
sin2θ=sin(90°-3θ) …(◆)
角(2θと(90°-3θ))がいずれも0°~90°の間の角だと言うことを示したい。
その結果
2θ=90°-3θ …(▲)
の関係を導き出せるのです。
~~~~~~~

>→そもそも、(1)~(4)までの計算って必要だったんでしょうか?
(◆)から(▲)を導き出すために必要なのです。

お分かりでしょうか?

こういう問題はグラフの概形を描いてθを求めると間違いがないですね。

グラフから 0<θ<90°では

y=sin2θとy=cos3θ

が交点を持つのは1つだけであり、かつその交点のθは 0°<θ<30°であることが
明らかなのでそのθに対して

sin(2θ)=cos(3θ)=sin(90°-3θ)
を満たすのは
2θ=90°-3θ
の場合しか存在しないといえる。
これから
5θ=90°
∴θ=18°
が出てくる。

このθがグラフのただ1つの交点のθと一致することが確認できる。

質問者さんの解答はグラフで言えば明らかなことを数式を使い求めていることになりますね。

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4辺の長さが分かっている四角形の対角線の長さを求める方法があれば
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計算式もお願いします

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 そしてこれらを使って基本に忠実に計算していきましょう。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_sankaku_seishitu.pdf

 sin(90°+θ)=cosθ
 sin(180°-θ)=sinθ
 cos(90°+θ)=-sinθ
 sin(90°-θ)=cosθ

 このことから与えられた式は次のように書き換えられます。
  与式=(cosθ)^2+(sinθ)^2+(-sinθ)^2+(cosθ)^2
    =2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =2 (∵ (cosθ)^2+(sinθ)^2=1)


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