帯電した導体の表面の電位、電場：無限大では？

Question

こんにちは、いつも勉強させて頂いております。
今回、ふとした疑問が湧き、それが説明できずに悩んでおり、どうか回答頂ければと思います。

帯電した球形の導体があります。その半径はRとします。
総電荷量をQとします。この導体の表面の電位、電場はいくつか、という問題、というか公式ですが、

電位 = k (Q/R)
電場 = k (Q/R^2)

で与えられると教わりました。
（ある点電荷Qがつくる、距離Rはなれた点での電位、電場ではありません。あくまで帯電した球体の表面の電位、表面の電場です）

なぜ、無限大ではないのでしょうか。
といいますのも、「帯電した導体では電荷は表面に存在する」、はずです。すると、
表面の電位というのは、電荷から距離ゼロ離れた場所の電位、電場であり、クーロン式（上式と同じ）からも、電場、電位は無限大になるのではないでしょうか。無限遠から、この帯電した導体の表面まで点電荷を移動するのに要する仕事、という観点から考えても、その仕事は無限大になると考えます（点電荷を最表面にもってくると、電場が無限大のため、仕事も無限大）。

いかがでしょうか。何か誤解している部分があるかもしれませんが、不躾ながらその点もどうかご指摘頂ければ幸いと思っておりまして、どうぞ宜しくお願い致します。

Quarks · Accepted Answer

数式の言葉で厳密に考えれば良いのです。
　
導体球の表面の電荷密度をρ[C/(m^2)]とします。
そして、球の任意の位置（点Ａとしましょう）を中心とした微小面積（面積ΔS[m^2])に注目します。ここに有る電荷Δｑは
Δｑ＝ρ・ΔＳ
となります。
　
この電荷が電場を作るのですね。空間の点Ｐ（ＡＰ間距離がｒ[m]だったとします）に、Ａの電荷が作る電場ΔＥは
ΔE=k・Δq/(r^2)　　式（ア）
です（ｋは、クーロンの法則の定数です）。

この式を見て、質問者さんは、ｒ をどんどん小さくしていって０となる極限では（ア）の分母が０になるのだから、ΔＥは∞となるのではないのか？　と考えたのですよね。

その質問には直接答えずに、搦め手からまいります。
球全体の電荷が作る電場を計算する手順を振り返ってみましょう。
そのためには、球表面を分割する分割の仕方を厳密に行う必要があります。具体的にはΔＳ（ひいてはρ・ΔＳ）を無限小の極限値で考える必要があるということです。
ΔＥ→ｄＥ　
ΔＳ→ｄＳ
（どちらの場合も、ｄ付きの数値は無限小という意味を込めています）
です。厳密に球が作る電場を考える時にはですから
ｄＥ＝ｋ・(ρ・dS)/(r^2)
を基本にしなければならなかったはずです。
ここでｒ→０の極限を考えると、ｄＥを与える式の、分子分母共に０に収束するのですから、その比は、無限大になると決まったわけではなく、有限値になっても何ら構わないはずなのです。

どうなるのかは、実際に積分して見るしかありません。その結果は、ご存じのように、有限値となるのです。

以上のことを踏まえると、球の表面のＡ部の電荷に、試験電荷を限りなく近づけたときに、試験電荷がＡ部から受けるであろう力が、電荷間距離が０になるのだから無限大になる、と無造作に考えるわけにはいかないのです。
　
試験電荷の大きさ(電荷量の強さのことではなく、試験電荷そのものの大きさです)が０という暗黙の前提があるため、試験電荷が近づいて球との距離を０にする極限では、球の部分Ａの面積も０に近づく小さな領域が問題になるため(Ａの極く近傍の球表面の電荷も小さくなり)、試験電荷が受ける力は限りなく小さくなり、無限大にはなれないのです。

tknakamuri · Answer

定性的な説明を考えてみました。

電場の強さは水の流れの速さだと思ってください。
そして個々の電荷(電子)は水の吹き出し口です。

すると電荷が球対称に分布する場合、水は球から放射状に流れ、
球の中心から遠ざかると逆２乗則で弱まってゆきます。
つまり電場は、球の外では電荷が球の中心の集まった場合と
同じ形/強さになるのです。

このように考えると、電場の形や強さが直感的に把握できると
思います。

球表面の電位は、球の中心に電荷Q がある場合と
同じになるのです。

tknakamuri · Answer

No.9 のお礼に関してですが、電化の分布が球対称ならば、
ガウスの発散定理から電荷の半径方向の分布とは無関係に
球表面の電位は一意に決まります。

＃電場を閉曲面で面積分すると、閉局面にとじ込められた電荷の量になります。

つまり、すべての電荷が球の中心にあるとして計算して
問題ありません(球の外側では)。

tknakamuri · Answer

量子力学では、位置の不確定性により、1個の電子でも
広がりをもった存在として扱いますのでクーロン力の集中は
起きません。

従って、マクロ的には伸縮可能な流体のごとく、連続的に分散したもの
として扱って問題ありません。

マクロ的にはこれでいいのですが、実はミクロ的には、位置の
不確定性だけではいろいろと話が合わなくなります。
このあたりが繰りこみ理論やQED(量子電磁気学)につながってゆきます。

sat000 · Answer

おしいんですけど、ところどころ勘違いがありますね。

> ある点電荷Qがつくる、距離Rはなれた点での電位、電場ではありません。あくまで帯電した球体の表面の電位、表面の電場です
ま、どっちでも同じです。

> 電荷から距離ゼロ離れた場所の電位、電場(中略)は無限大になるのでは
マクロに見ても点電荷であれば、その表面上ではそうです。
もっとも点電荷の表面とはなんぞやという別の難しい問題がありますけど。
そして別の点電荷をぴったり点電荷にくっつけることができれば無限大の力が互いに働きます。
つまり、ぴったりくっつけることは不可能であるということです。
でも別に点電荷を他から持ってこなくても、電位も電場もそこには存在します。
球単体が作る(まわりには電荷がない)場合の電位と電場の式ですよ、それ。
近傍に電荷があると、そのようには書けなくなります(そもそも球対称一次元で書けない)。

で、本題ですが、なぜ無限大にならないかというと、無限大の表面電荷密度にならないからです。
これは前述の点電荷のような古典論的描像では、表面の電荷間の距離が0にならないからです。
つまり、有限の表面電荷密度になり、表面積も有限なので、その結果、有限の電位になります。
電位を決めるのは電荷の量、つまり電荷が多いほど電位(の絶対値)が大きいと、私たちは考えており、今のところそれは正しいようです。
もちろん、じゃあ電位は電荷の何乗に比例するのかという問題がありますが、それは言葉ではもう無理で、きっちりと数式を立てて考えることになります。
幸い先達が考えてくれていて、V=Q/C と既に求められています。
従って、1乗に比例することが今では分かっています。

古典論では、おそらくほぼ一定の距離で規則性を持って点電荷が表面上に配列するとみなし(ここまでミクロだと量子論で扱うべきですが)、その配置から互いに受けるクーロン力を積算し、と面倒でしょ？
ビオ・サバールの法則のような面倒さです。
その面倒な作業を一気に簡単にしてくれたのがガウスの法則です。
もちろんマクロな式なので、個々の点電荷が云々とか、表面の本当のごく近傍なんて持ち出すと破綻しますから、対象物全体の電荷を考えるわけです。
そういうミクロな視点で考えたい場合は、点電荷だけミクロにするのは不公平であり、非現実的な考え方になります。

ちなみに、ぎゅうぎゅう詰め込んで電荷間の距離を小さくできるかというと、限界があり、それは材質の誘電率で決まります。
誘電率もマクロな物性値です。
Q＝CV (あるいはV=Q/C)だけだと、電荷が大きくなればいくらでも電位が上がりそうですが、実際は限界になると放電します(コンデンサが過電圧でパンクするのと同じ理屈)。
もし表面に電荷がある状態で、球をギューッと小さく圧縮していったとしても、電荷間の反発力が非常に大きくなるので、放電のような形で電荷が逃げるか、逃げない場合には圧縮できなくなるでしょう。
原子核が分解されるような非常に強い重力下ではどうなるか分かりませんが。

tadys · Answer

現実には無限大にならないのであなたの考えが間違えている事は明らかです。

同じ極性の電荷はお互いに反発するので導体上に均一に分布します。（球体の場合ね）
導体上に任意の領域を取った時にその中に分布する電荷は有限となります。
この時領域の面積をゼロに縮めていくとその中に含まれる電荷もゼロになります。
ゼロに縮めるときの電荷／面積は有限の値になります。つまりは微分です。

電子1個分だけ帯電した場合を考えたとしても同じ事です。
導体には多数の電子がありますので、それらの配置が微妙にずれる事で分布が均一になります。

ZET235711 · Answer

＞クーロンの法則に基づいて、実際を考えてみて下さい。
＞帯電した導体球の最表面に点電荷を置いたらどうでしょうか。
＞点電荷は隣接する電荷から無限大のクーロン力を受けます。
仮に点電荷が２つしかなく，ゼロ距離で隣接していたら，
無限大に近いクーロン力は発生するでしょう．
しかし，点電荷は２つではなく，その性質から反発しあって，
均等に導体球の表面に散らばっています．
そして，互いに及ぼし合ったクーロン力は，
“総合的に観点から球全体を考慮すると均等に点電荷が存在する”為，
無限大のクーロン力は生じることはありません．

＞そしてその力の方向はその点電荷と中心を結ぶ線（いわゆる、半径方向、かと思います。）ですね。
＞この方向以外のクーロン力は球の対称性から相殺されると思われます。
＞しかし、この半径方向の力だけは相殺される力は存在しません
＞（むしろ、点電荷と真反対の位置にある電荷から同方向のクーロン力を受けます）。

このクーロン力による電場を説明しようとするお考え自体が間違っています．
球の対称性からクーロン力が相殺されるというのは誤りです．

球に限らず，導体であれば，外からの影響される電場を打ち消そうという働きがあり，これを“静電遮蔽”と呼びます．
この静電遮蔽により，導体内部には電場が存在しないのです．
　下記において，電場が無限大であるということも否定する証明をしています．
　もし，導体内部において，仮に“打ち消されていないクーロン力が働いている”とするならば，導体内に電場が生じているということになります．
　そして，少しだけ移動すれば電位が上がった（下がったでも良い）とします．
　すると，導体内部に別の閉じた等電位面（均等な電位の面）の空間があることになります．
　ここから，さらに，少し内側に進めばもう少し小さい等電位面が作られます．
　この操作を延々と続けていくと，結局は，電位が極大になる点が導体の内部に存在します．
　つまり，ここから，新たに電気力線（クーロン力が働く線）があらゆる方向に向かって，出発するので，この導体内部の極大点に点電荷が存在するという矛盾が生じます．
　導体内部には，点電荷は存在していない条件でしたので，明らかな矛盾が生じています．

よって，導体内部には静電遮蔽により電場の影響を受けず，電場は０であり，電荷を導体表面に帯びているのであれば，導体表面に均等に点電荷が分布し，そこから放射状に電気力線が出発するということになります．

rnakamra · Answer

ある1点に注目すると、その点での電荷量が有限の値とならない、面積で積分しない限り値をもち得ない電荷量に過ぎないためにこのようなことが起こります。

点電荷において電場やポテンシャルが発散するのはあくまで"点"に有限(ゼロではないという意味)の電荷が存在するためであり、今回の問題では"点"にゼロでない電荷があるわけではないため、計算しても発散しません。

foomufoomu · Answer

ようやく、何を言っているのか、分かってきました。
球の表面に電荷が存在するということは、ｒ＝０の点電荷が無数に球形に分布していると考えられるので、その中の1点のすぐ近傍では距離=ゼロではないか。ということですね。

しかし、ｒ＝０の点電荷、というのはあくまで仮想的な話で、実際は電子の半径（？）の分だけは大きさがあって、完全に表面に存在するわけではないのでは？
Ｎｏ．１の回答のリンク先が示しているのは、「電荷は、どの半径に分布していると考えても、同じ結果になる。（中心からの距離で決まる）」ということです。
だったらｒ＝ａと考えるのが簡単。だけど、実際はｒ＝（ａー電子の半径）のところに分布している。のではないでしょうか。

foomufoomu · Answer

＞表面の電位というのは、電荷から距離ゼロ離れた場所の電位、
距離ゼロではなくて、球の中心からの距離（球の半径）です。

帯電した導体の表面の電位、電場： 無限大では？

数式の言葉で厳密に考えれば良いのです。

定性的な説明を考えてみました。

No.9 のお礼に関してですが、電化の分布が球対称ならば、

量子力学では、位置の不確定性により、1個の電子でも

この回答への補足

おしいんですけど、ところどころ勘違いがありますね。

現実には無限大にならないのであなたの考えが間違えている事は明らかです。

＞クーロンの法則に基づいて、実際を考えてみて下さい。

ある1点に注目すると、その点での電荷量が有限の値とならない、面積で積分しない限り値をもち得ない電荷量に過ぎないためにこのようなことが起こります。

ようやく、何を言っているのか、分かってきました。

＞表面の電位というのは、電荷から距離ゼロ離れた場所の電位、

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