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大学の微分方程式の講義のレポートが出たのですが、全く分からず途方に暮れています。

問題は2つ。

問1
周囲の温度が20℃のところで、コーヒーカップに90℃のコーヒーを入れたら、10分後には60℃になっていた。20分後、30分後にはそれぞれ何度になっているかを次のニュートンの冷却法則を使って(1)(2)(3)の手順に従って求めよ。
(注)ニュートンの冷却法則:冷却速度は温度差に比例する

(1)微分方程式を立てる。温度T(℃)、時間をtとする。
(2)微分方程式を解く。
(3)初期条件から定数を求める。

問2
(1)宇宙線の照射を受けた上空で放射線同位体炭素14Cが生成され古生物の体内に吸収される。  古生物が死ぬと、14Cの原素数N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例する。
  崩壊係数をλ、N(0)=N0として、上記の微分方程式を立てて解け。

(2)放射性同位体元素の数が半分になる時間を5760年として、λを求めよ。

(3)1700年経つと14Cha初期に比べて何%に減っているか。

の2問です。
できれば途中式などもよろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

問1


冷却速度dT/dtが外気温との温度差に比例するので
dT/dt=k(T-20)
変数分離して
(1/K(T-20))dT=dt
積分して
log(T-20)/k+C=t (Cは積分定数、logは自然対数)
log(T-20)=kt+C’ (C’=-kC)
t=0のときT=90なので
log70=+C’ ・・・(1)
t=10のときT=60なので
log40=10k+C’・・・(2)
(1)と(2)を連立させればkとC’が求められます。こうして導いた式にt=20、30を代入すれば20分後、30分後の温度も計算できます。

問2
N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例するので
ーdN(t)/dt=λ・N(t)
とおくと問1と同じ形になります。
微分方程式が解けたら
t=0のときN(t)=N0
t=5760のときN(t)=N0/2
としてやると係数、積分定数が判ります。ここまでできたら(3)はt=1700を代入するだけです。
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