正五角形の作図の証明！

正五角形の作図についての質問です！

コンパスと定規を使って正五角形の作図が、↓の方法２で出来る理由 (証明)を教えて下さい！
http://www.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakuke …

誠に勝手ながら、数学が得意な方ではないので出来るだけわかりやすくお願いします(^^;)

No.4 ベストアンサー 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/11/10 00:25

作図法の２は定規とコンパスで作図したというより

cos72°=(√5-1)/4（単位円で作図したとして）であることを既知として、
その長さを図面のx軸上に作図して、そのxのときの円周上の点を正五角形の一角にすることで
正五角形を作図してます

半径の中央の点A=(-1/2,0)と円周上の点B=(1,0)からなす直角三角形の斜辺ABの長さは
OA:OB:AB=:1/2;1:√5/2なので
原点を中心とした半径がABの長さ(√5/2)となる円周上の点C(√5/2,0)とAの中点Dは
D=((√5/2-1/2)/2,0)=(√5-1)/4,0)
となりますので

この回答へのお礼

解りやすい解説ありがとうございます.
こういう解説が欲しかったので助かりました。

私の日本語が拙いばっかりにどんな解説が欲しいのか明確に示せず、もしこのまますっきりしなかったら嫌だなって思っていたところでした^^;

お礼日時：2011/11/10 00:45

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2011/11/09 20:26

Oを中心として点Y3、Y1、Z1を通る円の半径を1とする。

この円と線分OE2との
交点をPとし、Pを中心とする半径1の円と最初の円との交点をQとすると、
△OPQは一辺が1の正三角形となり、Qから線分OE2に下ろした垂線の終点B1は
線分OPを二等分するのでOB1=0.5となる。線分B1Z2=線分B1E2=線分B1E1=aと
すると、E2を中心としてOを通る円の半径(=Oを中心としてE2を通る円の半径)
=a+0.5であり、両円の交点から線分OE2に下ろした垂線の終点Z3は線分OE2を
二等分するのでOZ3=(a+0.5)/2となる。作図からY3Z3=Z3Y4であり、直角三角形
OY3Z3に着目すると線分Y3Y4の1/2の二乗=1-｛(a+0.5）/2｝の二乗となる。
aは直角三角形Z2B1Oに着目してa二乗=1+0.5の二乗、a=√1.25であり、上記に
代入して計算するとY3Y4の二乗=2.5-√1.25となる。
　次にOを中心として点E1を通る円とE1を中心として点Oを通る円の両交点を
通る直線(点Y1、点Y2はこの直線上にある)がOE1と交わる点をRとすると、
Rは線分OE1を二等分するので、OR=OE1/2、OE1=B1E1-OB1=a-0.5より
OR=(a-0.5）/2となる。直角三角形Y1ORに着目すると線分Y1Rの二乗
=1-｛(a-0.5）/2｝の二乗となる。この線分Y1Rの二乗を用いると、直角三角形
Y1RZ1で線分Y1Z1の二乗=線分Y1Rの二乗+線分RZ1の二乗=線分Y1Rの二乗
+(線分OZ1-線分OR)の二乗=1-｛(a-0.5）/2｝の二乗+｛1-(a-0.5）/2｝の二乗
となりa=√1.25を代入して計算すると線分Y1Z1の二乗=2.5-√1.25となる。
　次に、点Y3を通り線分E1E2に平行な直線が線分Y1Rと交わる点をSとすると
Y3S=Z3R=OZ3+OR=(a+0.5)/2+(a-0.5)/2=となる。又、線分SR=線分Y3Z3
=線分Y3Y4/2={√(2.5-√1.25)}/2となる。
Y1Rは上記から√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］。
よってY1S=Y1R-Y3Y4/2=√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］-{√(2.5-√1.25)}/2。
直角三角形Y1Y3Sに着目してY1Y3の二乗=Y1Sの二乗+Y3Sの二乗
=【√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］-{√(2.5-√1.25)}/2】の二乗+aの二乗となり、
a=√1.25を代入して計算すると、Y1Y3の二乗=2.5-√1.25となる。
　以上、作図から図形は直線E1E2の上下で対象であることから、各線分Y1Y3、
Y3Y4、Y4Y2、Y2Z1、Y1Z1の長さ(の二乗)が等しいことが証明されたので、
五角形Y1Y3Y4Y2Z1は正五角形と云える。

この回答へのお礼

数学苦手な私でも理解できたので解りやすい説明だと思います＾＾
ありがとうございました！

お礼日時：2011/11/10 00:32

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/09 13:48

リンク先の pdf は「転載不可＿赤門会」と書いてあるから、

直リンクはできないねえ。
単位円に内接する正五角形の頂点座標を求めて、それが
有理係数二次方程式の解になっていることを示せばよいのでは？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
正しくは www.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakukei/seitakakukei_5.html でした。

リンク先のpdfはおそらく作図１の証明だと思うので、証明のない作図(2)の証明を教えていただきたいです。

補足日時：2011/11/09 17:30

No.1 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/11/09 10:21

リンクが繋がってません

推測して出てきたページをみると
なぜ正五角形になるかの証明のpdfがリンクされています
まずそれを見て具体的に何がわからないか質問されないと
もし回答があったとしても同じ説明になると思います

この回答への補足

早速の回答ありがとうございました。
正しくはwww.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakukei/seitakakukei_5.htmlでした。
pdfファイルのある作図１ではなく、作図2の証明を教えていただきたいです。

別件お聞きしたいのですが、自分の質問には補足はつけられないのでしょうか？
↑のリンクを修正したいのですが…

補足日時：2011/11/09 17:35