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正五角形の作図の証明！

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  • 質問者：irinead
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

正五角形の作図についての質問です！

コンパスと定規を使って正五角形の作図が、↓の方法２で出来る理由 (証明)を教えて下さい！
http://www.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakuke …

誠に勝手ながら、数学が得意な方ではないので出来るだけわかりやすくお願いします(^^;)

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A 回答 (4件)

No.4ベストアンサー

  • 回答者： hrsmmhr
  • 回答日時：

作図法の２は定規とコンパスで作図したというより


cos72°=(√5-1)/4（単位円で作図したとして）であることを既知として、
その長さを図面のx軸上に作図して、そのxのときの円周上の点を正五角形の一角にすることで
正五角形を作図してます

半径の中央の点A=(-1/2,0)と円周上の点B=(1,0)からなす直角三角形の斜辺ABの長さは
OA:OB:AB=:1/2;1:√5/2なので
原点を中心とした半径がABの長さ(√5/2)となる円周上の点C(√5/2,0)とAの中点Dは
D=((√5/2-1/2)/2,0)=(√5-1)/4,0)
となりますので
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この回答へのお礼

解りやすい解説ありがとうございます.
こういう解説が欲しかったので助かりました。

私の日本語が拙いばっかりにどんな解説が欲しいのか明確に示せず、もしこのまますっきりしなかったら嫌だなって思っていたところでした^^;

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お礼日時：2011/11/10 00:45

No.3

  • 回答者： yyssaa
  • 回答日時：

Oを中心として点Y3、Y1、Z1を通る円の半径を1とする。

この円と線分OE2との
交点をPとし、Pを中心とする半径1の円と最初の円との交点をQとすると、
△OPQは一辺が1の正三角形となり、Qから線分OE2に下ろした垂線の終点B1は
線分OPを二等分するのでOB1=0.5となる。線分B1Z2=線分B1E2=線分B1E1=aと
すると、E2を中心としてOを通る円の半径(=Oを中心としてE2を通る円の半径)
=a+0.5であり、両円の交点から線分OE2に下ろした垂線の終点Z3は線分OE2を
二等分するのでOZ3=(a+0.5)/2となる。作図からY3Z3=Z3Y4であり、直角三角形
OY3Z3に着目すると線分Y3Y4の1/2の二乗=1-｛(a+0.5）/2｝の二乗となる。
aは直角三角形Z2B1Oに着目してa二乗=1+0.5の二乗、a=√1.25であり、上記に
代入して計算するとY3Y4の二乗=2.5-√1.25となる。
　次にOを中心として点E1を通る円とE1を中心として点Oを通る円の両交点を
通る直線(点Y1、点Y2はこの直線上にある)がOE1と交わる点をRとすると、
Rは線分OE1を二等分するので、OR=OE1/2、OE1=B1E1-OB1=a-0.5より
OR=(a-0.5）/2となる。直角三角形Y1ORに着目すると線分Y1Rの二乗
=1-｛(a-0.5）/2｝の二乗となる。この線分Y1Rの二乗を用いると、直角三角形
Y1RZ1で線分Y1Z1の二乗=線分Y1Rの二乗+線分RZ1の二乗=線分Y1Rの二乗
+(線分OZ1-線分OR)の二乗=1-｛(a-0.5）/2｝の二乗+｛1-(a-0.5）/2｝の二乗
となりa=√1.25を代入して計算すると線分Y1Z1の二乗=2.5-√1.25となる。
　次に、点Y3を通り線分E1E2に平行な直線が線分Y1Rと交わる点をSとすると
Y3S=Z3R=OZ3+OR=(a+0.5)/2+(a-0.5)/2=となる。又、線分SR=線分Y3Z3
=線分Y3Y4/2={√(2.5-√1.25)}/2となる。
Y1Rは上記から√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］。
よってY1S=Y1R-Y3Y4/2=√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］-{√(2.5-√1.25)}/2。
直角三角形Y1Y3Sに着目してY1Y3の二乗=Y1Sの二乗+Y3Sの二乗
=【√［1-｛(a-0.5）/2｝の二乗］-{√(2.5-√1.25)}/2】の二乗+aの二乗となり、
a=√1.25を代入して計算すると、Y1Y3の二乗=2.5-√1.25となる。
　以上、作図から図形は直線E1E2の上下で対象であることから、各線分Y1Y3、
Y3Y4、Y4Y2、Y2Z1、Y1Z1の長さ(の二乗)が等しいことが証明されたので、
五角形Y1Y3Y4Y2Z1は正五角形と云える。
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この回答へのお礼

数学苦手な私でも理解できたので解りやすい説明だと思います＾＾
ありがとうございました！

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お礼日時：2011/11/10 00:32

No.2

  • 回答者： alice_44
  • 回答日時：

リンク先の pdf は「転載不可＿赤門会」と書いてあるから、


直リンクはできないねえ。
単位円に内接する正五角形の頂点座標を求めて、それが
有理係数二次方程式の解になっていることを示せばよいのでは？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
正しくは www.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakukei/seitakakukei_5.html でした。

リンク先のpdfはおそらく作図１の証明だと思うので、証明のない作図(2)の証明を教えていただきたいです。

補足日時：2011/11/09 17:30
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No.1

  • 回答者： hrsmmhr
  • 回答日時：

リンクが繋がってません


推測して出てきたページをみると
なぜ正五角形になるかの証明のpdfがリンクされています
まずそれを見て具体的に何がわからないか質問されないと
もし回答があったとしても同じ説明になると思います

この回答への補足

早速の回答ありがとうございました。
正しくはwww.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakukei/seitakakukei_5.htmlでした。
pdfファイルのある作図１ではなく、作図2の証明を教えていただきたいです。

別件お聞きしたいのですが、自分の質問には補足はつけられないのでしょうか？
↑のリンクを修正したいのですが…

補足日時：2011/11/09 17:35
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Q正五角形の作図と証明

正五角形の作図ですが、いまいち解りません。宜しければ、回答ください。また、出来れば、その作図が成り立つ証明も教えてください。参考ＵＲＬも添付してくれれば、嬉しいです。

Aベストアンサー

正五角形の作図は、円分方程式
　x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
　∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
　∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
　t=x+1/x
とおけば、
　t^2=x^2+1/x^2+2
　∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
　t^2+t-1=0
　∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
　t=(-1+√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1+√5)/2
　∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
　∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
　t=(-1-√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1-√5)/2
　∴ x^2+{(1+√5)/2}x+1=0
　∴ x=(-1-√5)/4±√(10-2√5)i/4. …(5)
したがって、(4),(5)の四つの数と
　x=1
が、正五角形の頂点の座標になります。すなわち、単位円を書き、直線
　x=(-1+√5)/4
を作図すれば、
　(1,0)
と合わせて、二つの頂点を得ることができます。

正五角形の作図は、円分方程式
　x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
　∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
　∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
　t=x+1/x
とおけば、
　t^2=x^2+1/x^2+2
　∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
　t^2+t-1=0
　∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
　t=(-1+√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1+√5)/2
　∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
　∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
　t=(-1-√5)/2
なら、
　x+1/x=(-1-√5)/2
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Q正五角形作図における証明

正五角形の作図については多様な解があり、その証明がなされているものもあります。一方、折り紙での正五角形は折り方は二種類のみが知られていますが、どちらもその証明が不明です。下記のＵＲＬに紹介されている折り方に対して、証明をしていただけないかと思い投稿しました。よろしくお願いいたします。
1）正五角形の一辺を求める
http://genryu.cside4.com/yoshitago/kyuguza2/seigo.htm
2）角度を十等分する方法
http://homepage2.nifty.com/poyopokets/kousaku/sasa/sasa.htm

Aベストアンサー

1)証明というより説明
　　上に頂点Ａがあり、反時計回りにＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅとある正五角形を
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　　と、ＰＱ＝ＣＤ＝√５－１、ＢＰ＝ＥＱ＝(３－√５)/2
　　ここで、△ＢＣＰを考えると、∠ＣＢＰ＝108°-36°＝72°
　　このことから、斜辺(ＢＣ)が√５－１で、底辺(ＢＰ)が(３－√５)/２
　　になっている直角三角形は、その挟む角が72°になるといえます。

　　さて、この折り方の４番目で√５－１を 真ん中に移動ということなの
　　で左右に余る長さは　{２－(√５－１)}/２＝(３－√５)/２　です。
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Q正五角形の証明

まっすぐで平行な帯状の紙で結び目をつくると、結び目は五角形になります。
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あまり難しいことはわからないので、「できる」、「できない」だけの回答でも結構です。

Aベストアンサー

＃５のoshiete_gooです．
＃６で訂正の通り，＃５の仮定は強すぎて誤りでした．
お詫びして撤回させていただきます．

結果としては残りの１組の平行も実は示せるのですが，その距離が他の平行線と同じになることが容易には示せないので，この方針はまずいようです．

ただし，＃６で触れたような置きかたをすると，全て左右対称ということが示せて，この回答ではそれを前提にして議論します．

元の五角形ＡＢＣＤＥで三角形ＡＣＤをＣＤのところで展開して伸ばすと菱形ＡＣＡ'Ｄができて，折れ線Ａ'ＣＢとＡ'ＤＥはそれぞれ直線になります．
（証明は略しますが，もともと直線を折り曲げて作った図形を逆に展開しているので，実はあたりまえ．）

そこで，以下のように考えます．

ｘｙ平面上に二等辺三角形ＡＢＣがあり，Ａ(0，－1)，Ｂ(－Ｌ，0)，Ｃ(Ｌ，０)とします．
これは高さ１の二等辺三角形を考えていることに相当しますが，底辺ＢＣ＝２Ｌとしているので，図形的性質を議論する分には一般性を失っていません．(あとで相似を保って拡大・縮小すればよい．)

この二等辺三角形ＡＢＣをｘ軸に平行に頂点Ａから距離ｔ
（1/2<t<1）のところで折り返します．

つまりｙ＝－(1－ｔ)で折り返して頂点ＡがＡ'(０，－(1－ｔ)＋ｔ)＝(０，2t－1)にくるようにします．

このとき，ＡＢ，ＡＣとｙ＝－(1－ｔ)との交点をそれぞれ
Ｄ，Ｅとすると，三角形の相似を考えてＤ(－ｔＬ,－(1－ｔ))，Ｅ(ｔＬ,－(1－ｔ))です．

ここで五角形Ａ'ＢＤＥＣはｙ軸対称で，当然ＢＣ//ＤＥを満たします．
この五角形がＡ'Ｂ//ＣＤ（またはＡ'Ｃ//ＢＥでも良いが，ｙ軸対称性から一方で十分）を満たす条件を考えると，
Ａ'Ｂの傾き＝(2t－1)/L
ＣＤの傾き＝(1-t)／{Ｌ－(－ｔＬ)}＝(1-t)／{(1+t)Ｌ}

両者の平行の条件は　(2t－1)/L＝(1－t)／{(1＋t)Ｌ}

整理して　(2t－1)(1＋t)＝1－t
⇔2t^2＋ｔ－1＝1－ｔ
⇔t^2＋t－1＝０
これを解いて　ｔ＝(-1＋√5)／2 (∵1/2＜ｔ＜１)
これは黄金比そのものです．

またこのとき
Ａ'Ｄの傾き＝ｔ／(ｔＬ)＝1／Ｌ
ＣＥの傾き＝(1－ｔ)／(Ｌ－ｔＬ)＝1／Ｌ
で，Ａ'Ｄ//ＣＥ，ｙ軸対称性よりＡ'Ｅ//ＢＤも満たすことがいえます．
まだＬの決定はしていませんが，平行な５組の線分のうち４組は間隔が一定（テープの幅ｄ）ということからおそらく決定できるものと期待します．

正五角形ならば題意を満たすことは明らかなので，途中の議論に不備がなければ予想は成立しそうですが，
皆様なにとぞ検証とご報告をお願いします．

また，もっとましな議論があればお教え下さい．

＃５のoshiete_gooです．
＃６で訂正の通り，＃５の仮定は強すぎて誤りでした．
お詫びして撤回させていただきます．

結果としては残りの１組の平行も実は示せるのですが，その距離が他の平行線と同じになることが容易には示せないので，この方針はまずいようです．

ただし，＃６で触れたような置きかたをすると，全て左右対称ということが示せて，この回答ではそれを前提にして議論します．

元の五角形ＡＢＣＤＥで三角形ＡＣＤをＣＤのところで展開して伸ばすと菱形ＡＣＡ'Ｄができて，折れ線Ａ'ＣＢ...続きを読む

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