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y=l^2/(4xtan(π/x))を微分するとどうなりますか?
教えてください

A 回答 (7件)

y'=dy/dxを求める問題として回答します。



> y=l^2/(4xtan(π/x))

なら
1^a=1なので
y=1 dy/dx=0

y=(l^2)/(4xtan(π/x))なら
y=l/(4xtan(π/x))
dy/dx=(1/4){l/(xtan(π/x))}'
=(1/4){x^(-1)*(tan(π/x))^(-1)}'
=(1/4){-x^(-2)*(tan(π/x))^(-1)-x^(-1)*(tan(π/x))^(-2)*(tan(π/x))'}
=(1/4){-x^(-2)*(tan(π/x))^(-1)-x^(-1)*(tan(π/x))^(-2)*sec^2(π/x)*(-π/x^2)}
={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]
={1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]

この回答への補足

回答ありがとうございます。
あと、最終的な解の中でπ/x-1/2(sin(2π/x))という形をだしたいんですが、わかりますか?

補足日時:2011/11/21 16:26
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この回答へのお礼

もう補足欄がないので、こちらに失礼します
先ほどの補足について、勘違いをしていました
なので理解できました

丁寧に教えてくださってありがとうございました。

お礼日時:2011/11/25 04:42

#2,#4,#6です。



A#6の補足質問について
別の投稿の方にも回答しておきましたが

>最終的な解について
> ={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]から
> ={1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]への変形はどうやっているんですか?
以下の計算過程の通り変形すれば良いです。

> 1+(tan(π/x))^2はどこにいってしまったんですか?
{ }をばらしただけです。どこかに行ってしまった訳ではありません。

π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2
 ={π/(tan(π/x))^2}+π{(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2
 ={π/(tan(π/x))^2}+π

(本題の式の変形)
{1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]
{ }をばらして
 ={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2} +π{(tan(π/x))^2/(tan(π/x))^2}]
 ={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2} +π]

最後のπを前に持ってくると
 ={1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]
と補足質問の式が出てきます。

------------------------------------------------------------------------
(参考)さらに変形すると
tan(π/x)=sin(π/x)/cos(π/x)より
 =[π-{xcos(π/x)/sin(π/x)}+π{cos^2(π/x)/sin^2(π/x)}]/(4x^3)

sin^2(π/x)で通分して
 =[πsin^2(π/x)-xcos(π/x)sin(π/x)+πcos^2(π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

[ ]内の項の順を入れ替えて
=[πsin^2(π/x)+πcos^2(π/x)-xcos(π/x)sin(π/x)}]/{4(x^3)sin^2(π/x)}
=[π{sin^2(π/x)+cos^2(π/x)}-xcos(π/x)sin(π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

sin^2(π/x)+cos^2(π/x)および2倍角の公式より
 =[π-(x/2)sin(2π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

分母のxを[]の中に入れると
 ={(π/x)-(1/2)sin(2π/x)}/{4(x^2)sin^2(π/x)}
となります。
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#2,#4です。



A#4の補足質問について

>dy/dxが始まったところから3行目の
>(1/4){-x^(-2)*(tan(π/x))^(-1)-x^(-1)*(tan(π/x))^(-2)*(tan(π/x))'}
>は合成関数の微分をしているとゆうことでいいでしょうか?

その通りです。

この回答への補足

度々、すみません
最終的な解について
={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]から
={1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]への変形はどうやっているんですか?1+(tan(π/x))^2はどこにいってしまったんですか?

補足日時:2011/11/25 03:35
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この回答へのお礼

ありがとうございます
とてもよくわかりました

お礼日時:2011/11/22 21:40

tan を微分すると、sec は一旦登場してしまいますから、


sec を避けるとすれば、y = の式を変形して、
yx sin(π/x) = (I^2/4) cos(π/x) の両辺を微分すればよいです。
(dy/dx) x sin(π/x) + y sin(π/x) + yx cos(π/x) (-π/x^2)
= (I^2/4) sin(π/x) (π/x^2) を dy/dx = の形に変形し、
y = (I^2)/(4 x tan(π/x)) を代入すれば、完了します。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
助かりました

お礼日時:2011/11/22 21:42

#2です。



{tan(x)}'=sec^2(x)=1+tan^2(x)
と変形できるので、この公式を利用すればsecを使わなくてもすみます。

この回答への補足

理解できました
dy/dxが始まったところから3行目の

(1/4){-x^(-2)*(tan(π/x))^(-1)-x^(-1)*(tan(π/x))^(-2)*(tan(π/x))'}

は合成関数の微分をしているとゆうことでいいでしょうか?

補足日時:2011/11/22 17:27
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> 最終的な解の中でπ/x-1/2(sin(2π/x))という形をだしたいんですが、



微分した式を、変形すればよいですね。
= { π/x - (1/2)sin(2π/x) } / { 4 (x^2) sin^2(π/x) }
です。

= { 2π/x - sin(2π/x) } / { 8 (x^2) sin^2(π/x) }
とまとめたほうがよさそうな気もしますが。

この回答への補足

回答ありがとうございます
解をだす上で、下の方以外の方法で解はだせますか?
secを使わずに出した解を出す方法がしりたいのでご存じでしたら教えてください。

補足日時:2011/11/22 11:50
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何 (なに) で?

この回答への補足

回答ありがとうございます
xです

補足日時:2011/11/21 16:19
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