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AB=AC=AD=6  BC=CD=DB=6√2  である三角錐ABCDに内接する球の半径を求めよ

この問題の解答と解法を教えてください

お願いします

A 回答 (6件)

体積を2通りの方法で表します。


1. (1/3) x (底面積) x (高さ)
2. (1/3) x (△ABC + △ACD + △ADB + △BCD) x (内接球の半径)

1と2が等しいので内接球の半径が計算できます。

この回答への補足

式を書いていただけるとありがたいです

補足日時:2011/11/23 21:51
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この問題の場合、△ABC、△ACD、△ADBの3辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形であるので、そのことを利用してもよいと思います。


頂点Aから平面BCDまでの距離は2√3 (三角錐の体積の式などから求めるのが一般的。点と平面との距離から求めてもよい。)
内接球の中心をI、半径をrとすると、AI=(√3)r、点Iから平面BCDまでの距離はr
従って 2√3 = (√3)r+r 

#1が最もシンプルで一般性のある解法だけどね。
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3(√94)/4 って7以上あるよ。

直径にしたって長すぎる。

#1でも#2でも答えは同じ。半径は3-√3 
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考え方は#1さんので良いと思います。

記号は#2さんの決めた記号を使えば

S=△BCD=(1/2)BC*BDsin60°=18√3

余弦定理より
cos∠ADE=(AD^2+DE^2-AE^2)/(2AD*DE)=7(√6)/24
sin∠ADE=√{1-(cos∠ADE)^2}=(√282)/24
AH=ADsin∠ADE=(√282)/4

三角錐体積V=S*AH/3=9(√94)/2

S1=△ABC=△ABD=△ACD=(1/2)AB*AC=18 (∵△ABDは直角二等辺三角形)

V=(1/3)(3S1+S)r より
内接球の半径r=3V/(3S1+S)=3(√94)/4
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△BCDの中心と各辺との距離aを求めます。

△BCDは一辺が6√2の正三角形なので
a=(1/2)*(6√2)*tan(π/6)=(3√2)*tan(π/6)・・・(1)
次に点Aと辺BCの中点との距離bを求めます。三平方の定理より
b=√{6^2-(3√2)^2}・・・(2)
△BCDの中心をE、辺BCの中点をFとすると△AEFはEF=a、AF=b、
∠AEF=π/2の直角三角形になります。
三角錐ABCDに内接する球の半径をRとし、辺AE上にEG=Rとなるように点Gを定めると、点Gから辺AFに下ろした垂線GHの長さもRとなります。
△AEFと△AGHは相似ですから、AE=cとしてc=√(b ^2-a^2)・・・(3) 
b/a=(c-R)/R・・・(4)となります。
この(4)に(1)~(3)で求めたa、b、cを代入してRを計算することが出来ます。
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BCの中点をEとすると、対称性から球の中心Oは△AED上にある。


Aから△BCDに垂線を下ろすと、対称性からOはこの垂線上にある。
垂線と△BCDの交点をHとすると、△AEDの概形は右図のようになる(球とADが接しないことに注意)。
△ABEで三平方の定理を使うと、AEが求まる。
△BCDは正三角形だからDEの長さは簡単に求まる。なんなら△DBEで三平方の定理を使ってもいい。
Hは△BCDの重心に一致するからEHの長さも求まる。
△AEHで三平方の定理を使うと、AHが求まる。
球と△ABCの接点をJとし、球の半径をrとすると△AOJ∽△AEHから方程式を立てることが出来る。
ここからrを求める。

解法は示したから解は自分で出して。
「三角錐に内接する球」の回答画像2
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Q高校 三角錐に内接する球の半径

AB=AC=AD=6、BC=CD=DB=6√2である三角錐に内接する球の半径を求めよという問題で

ボクは△BCDに内接している円と考え
△BCDの面積を「2/1×6√2×6√2×sin60」で求め
△BCD=2/1×r×(3×6√2)で計算したのですが
何度やっても答えが合いません…

どこか間違っているかわかる方解説よろしくです。

実際の答えの解説は本に載っているので大丈夫です。

Aベストアンサー

Aから△BCDに下した垂線AH上に内接球の中心Gがあります。またAから辺BC、CD、BDに下した垂線の足をそれぞれL、M、Nとすると、内接球は垂線AL,AM,ANおよびBMに接します。言い換えれば内接球の中心Gはこれらの垂線と等距離にあります。このことを整理すると、三角錐の対称性から、断面△ABMにおいてAH上のGから、それぞれ辺BMと辺AMに下した垂線GHと垂線GFの長さが等しいGの位置が内接球の中心Gであり、等しい垂線の長さが内接球の半径rになります。
これを式で書けば、HM=√6,AM=3√2,AH=2√3であることから
AHを内接円の半径rを使って
2√3=r+r*3√2/√6
という関係式が導けます。
これをrについて解けばいいですね。

理解しやすいように三角錐ABCDの立体と内接球Gの内接状態を3次元透視図にして添付しておきます。

Q空間図形の外接、内接球について

一辺の長さが2の正四面体について
(い)正四面体に外接する球の表面積を求めよ
(ろ)正四面体に内接する球の体積を求めよ
(は)外接球、内接球の表面積の比と体積の比を求めよ

解説お願いします

Aベストアンサー

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(B)
(B)=(A)とおいて
 4r√3/3=2√2/3 ∴r=1/√6
内接球の体積v=(4/3)πr^3=(4/3)π/(6√6)=π√6/27

(は)
内接球の表面積をs, 外接球の体積をVとすると
表面積の比S:sは
 s=S*(r/R)^2 より
 S:s=1:(r/R)^2=1:{(1/√6)/(√6/2)}^2=1:(1/9)=9:1

体積の比S:sは
 V=v*(R/r)^3  より
 V:v=(R/r)^3:1={(√6/2)/(1/√6)}^3:1=27:1

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Qヘプタン異性体の構造式

C7H16のヘプタン9つの異性体の構造式と、それらの名前を誰か分かる人教えて下さい。
どうやって構造式を作って良いのか分からないので作り方も教えていただければ。

Aベストアンサー

ヘプタンの9つの異性体は、

・ヘプタン

  C-C-C-C-C-C-C

・2-メチルヘキサン

  C-C-C-C-C-C
     |
     C

・3-メチルヘキサン

  C-C-C-C-C-C
       |
       C

・2,3-ジメチルペンタン

  C-C-C-C-C
     | |
     C  C

・2,4-ジメチルペンタン

  C-C-C-C-C
     |   |
     C    C


・2,2-ジメチルペンタン

     C
    |
  C-C-C-C-C
    |
     C

・3,3-ジメチルペンタン

       C
       |
  C-C-C-C-C
       |
       C

・3-エチルペンタン

  C-C-C-C-C
       |
       C
       |
       C

・2,2,3-トリメチルブタン

     C
     |
  C-C-C-C
     | |
     C  C

これで全てだと思います。
↑ずれてると思いますが、お許し下さい。m(_ _)m

>どうやって構造式を作って良いのか分からないので作り方も教えていただければ。

主鎖に位置番号をふったりして、側鎖を付ける数とか場所を考えられるだけ考えるしか
ないでしょうかねぇ?僕も上手い方法を教えて欲しいです~。

ヘプタンの9つの異性体は、

・ヘプタン

  C-C-C-C-C-C-C

・2-メチルヘキサン

  C-C-C-C-C-C
     |
     C

・3-メチルヘキサン

  C-C-C-C-C-C
       |
       C

・2,3-ジメチルペンタン

  C-C-C-C-C
     | |
     C  C

・2,4-ジメチルペンタン

  C-C-C-C-C
     |   |
     C    C


・2,2-ジメチルペンタン

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Q「映画をみる」を英語に訳すと。

今まで「see a movie」と訳してきましたが、今日の参考書に「watch a movie」と書いてありました。

どちらが正しいんですか?
また、両方正解なら、どういったニュアンスの違いがありますか?

高1です。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

アメリカに36年住んでいる者です。 私なりに書かせてくださいね。

学校で教わる英語を基にすると難しいかもしれませんね。

こう考えてもいいと思いますよ。

see a movie
watch a movie

は両方とも問題なく使えます。 I saw the movie on TV, I'm watching the movie on TV right now.などですね。

seeは見ると言う経験をする
watchは観ると言う行為をする。

I saw the movie 見た経験・事がある
I watched the movie. 観た

I am seeing the movie now. 使わない (下を参照)
I am watching the movie. 観ている

I will see the movie. 見る経験を持つ予定
I will watch the movie. 観るつもり

I'm gonna see a movie tongiht. 見る経験を持つつもり
I'm gonna watch a movie tonight. 観るつもり

上のI'm seeing the movieですが、今進行しているという言い方では使わないですが、未来形としての現在の予定、と言う意味では問題なく使います。 I'm seeing the movie next week with Jackie.と言う感じですね。

確かにwatch a movieと言うとビデオやテレビで見るというフィーリングがありますが、見たという経験を言いたいのであれば、I saw the movie on TVと言う表現は全く問題ないわけです。 テレビで見た経験があるよ、すなわち、テレビで見たよ、と言うことになり、テレビで見たよ、はI watched the movie on TVは、テレビで見た行為をした(これも日本語では、テレビで見たよ、となりますね)、と言うフィーリングになるわけです。

I saw him. 彼を(そのときの)みた経験がある、すなわち、彼を見かけた、と言うことになり、I watched him.と言うと彼を見る行為をした、すなわち、彼を観察した、と言うことになるわけです。

ちょっと断言しすぎたところはあると思いますが、このmovieについてはこのようなフィーリングを元に使っています。

これでいかがでしょうか。 分かりにくい点がありましたら、補足質問してください。 

アメリカに36年住んでいる者です。 私なりに書かせてくださいね。

学校で教わる英語を基にすると難しいかもしれませんね。

こう考えてもいいと思いますよ。

see a movie
watch a movie

は両方とも問題なく使えます。 I saw the movie on TV, I'm watching the movie on TV right now.などですね。

seeは見ると言う経験をする
watchは観ると言う行為をする。

I saw the movie 見た経験・事がある
I watched the movie. 観た

I am seeing the movie now. 使わない (下を参照)
I am ...続きを読む

Q二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式

タイトルのとおりなのですが、二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式が
どういうふうになるのかおしえてほしいのです。
硫化水素 H2S→2H+ + S + 2e-
二酸化硫黄 SO2 + 4H+ + 4e- → S + 2H2O
ということまではたぶんあっているとおもうのですが・・・
このあとどうやっていけば酸化還元反応式ができあがるのかが。。。
教えて下さい

Aベストアンサー

そこまでわかっているのなら、後は
e-が消えるように2つの式を足し合わせるだけです。
最初の式を2倍して、2番目の式と足せば、
2H2S + SO2 + 4H+ + 4e- → 4H+ + 2S + 4e- + S + 2H2O
両辺から同じものを消して
2H2S + SO2 → 3S + 2H2O
となります。

Q内接球と正多角錐

高校一年のものす。授業で扱った問題で、気になった点があったので質問させていただきます。

「円錐の表面積・体積とその円錐に内接する球の表面積・体積を求めよ。」という意の問題があり、答えは覚えていないのですが...

「内接球の体積:内接球の表面積=円錐の体積:円錐の表面積」

とにかくその問題の答えから、↑のような結果が生まれました。更に正4面体でも同じ結果(球の体積:表面積の比率と同じという結果)がでてきました。
 そこで思ったのですが、

「内接球の体積:内接球の表面積=その内接球を持つ正n角錐の体積:その内接球を持つ正n角錐の表面積」

みたいな法則ってあるのでしょうか。
 ちょとした興味で得た疑問で、まだ三角比を学んだ辺りなので、難しいことはよくわかりません。簡単に教えてください。また、この質問にある式自体assyuburannkaの勘違いだという場合もお知らせください。

       よろしく御願い致します。

Aベストアンサー

そのとおりです。この性質は実は内接球がある全ての多面体について成立します。
証明も簡単です。
多面体の各面の面積を(n面あるとします)をS1、S2、S3、…、Snとします。
内接球の中心をOとします。また内接球の半径をrとします。
Oから各面、たとえばS1の頂点に線を引くと多角錐ができます。
各面は内接球に接しているので高さはrとなり、この多角錐の体積は1/3 rS1 です。
このような多角錐すべてをあわせると多面体となりますから、多面体の体積は
1/3 r(S1+S2+…+Sn)
となります。
つまり、多面体の体積と表面積の比は
1/3r:1
となり、これは内接球の体積と表面積の比と同じです。

QWord 文字を打つと直後の文字が消えていく

いつもお世話になっています。
Word2000を使っているものです。
ある文書を修正しているのですが,文章中に字を打ち込むと後ろの字が消えてしまいます。
分かりにくいですが,
「これを修正します。」
という文章の「これを」と「修正します。」の間に「これから」という単語を入れたときに,その場所にカーソルを合わせて「これから」と打つと,
「これをこれからす。」
となってしまいます。
他の文書では平気です。
何か解決する方法があれば教えて下さい。

Aベストアンサー

入力モードが「挿入」(普通の入力)から、「上書き」になってしまっているのだと思われます。
キーボードに[Insert]というキーがあると思いますので、1度押してみてください。

Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
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Q旧帝大ってどんくらいすごいですか?

旧帝大ってどんくらいすごいですか?
私の祖母はめっちゃ旧帝大信者です
姉が私立大なのですが 実家帰るたび嫌味を言われていてかわいそうです
信者はうちの祖母の世代に限るんでしょうか?
皆さんは「旧帝卒」って聞くとどう感じますか?
教えて下さい

Aベストアンサー

国立大の話をすると、各県に教育学部と医学部が必ずあります。学校の先生とお医者さんは、各県に必ずいる大切な職業で、しかも高等な教育が必要だから、地元に養成機関を作ったんですね。また、ほとんどの県で、工学部か農学部、希に水産学部があります。これも地元の産業を担う人材を育てたい、ということですね。
旧帝大は、これら各県の枠では収まらない優秀な人材を集めて地元の産業の枠を超えた、国として産業や学問を発展させよう、という研究機関となります。北海道、東北、関東、中部、近畿、九州の各地方(なぜか中四国にはないんですよね)にあります。
特徴としては総合大学として、文学部、商学部、法学部、理学部、工学部が必ずあり、各分野の進歩を担う人材の育成を目的としています。
要は、「研究者」つまり「学者」を養成することが大きな目的です。

対して私立大の両雄、早稲田、慶応の例で書くと、これらは、社会に実際に役立つ人材を広く育成することが目的で、「実学」(実際の社会活動に役立つ学問)を教えることが主になります。
たとえば、建築の話ですると、
旧帝大は建築学の権威を育てたいと考え、私立大は優秀な建築家を育てたい、と考えているわけです。

ここでのポイントは、学者さんと技師さんとで、どちらを尊敬するか、ということですね。
昔は多くの人は中学にも行かずに職人や商売人になりました。職人は技師と同じ職場にいますし、経営者も商売人と直接関わる間柄になりますよね。技師さんや経営者さんは大学を出ていても身近な存在なんです。大学を出たばかりの設計技師さんよりも、現場で腕を磨いた頭領の方が優秀なことも多かったでしょう。
でも、身近に学者さんはいなかったでしょう。

で、回答になりますが、「旧帝大卒」と私が聞いた場合、研究者になるための一通りの作法を学んだ人だ、という認識を持ちます。実際に研究者になっていなくても、学んだ、つまりそういう考え方を習ったというところがキーになります。お茶の師匠になっていなくても、その作法を習った人は、茶道とは、というところを知っているだろう、というのと同じです。

これ、言い換えると、「私大卒」と私が聞いた場合、社会に実践的に役立ついろいろなことを知っている、身についている、と思います。

上下がある話ではなく、社会に貢献するやり方の違い、だという認識です。

国立大の話をすると、各県に教育学部と医学部が必ずあります。学校の先生とお医者さんは、各県に必ずいる大切な職業で、しかも高等な教育が必要だから、地元に養成機関を作ったんですね。また、ほとんどの県で、工学部か農学部、希に水産学部があります。これも地元の産業を担う人材を育てたい、ということですね。
旧帝大は、これら各県の枠では収まらない優秀な人材を集めて地元の産業の枠を超えた、国として産業や学問を発展させよう、という研究機関となります。北海道、東北、関東、中部、近畿、九州の各地...続きを読む


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