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不定積分∫dx/x^3+1を計算せよ。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

1/(x^3+1)=1/{(x+1)(x^2-x+1)}


=(1/3)/(x+1) -(1/3)(x-2)/(x^2-x+1)
=(1/3)/(x+1) -(1/6)(2x-1-3)/(x^2-x+1)
=(1/3)/(x+1) -(1/6)(2x-1)/(x^2-x+1) +(1/2)/(x^2-x+1)
と部分分数分解して

I=∫dx/(x^3+1)=(1/3)∫dx/(x+1) -(1/6)∫(x^2-x+1)' dx/(x^2-x+1)
+(1/2)∫dx/(x^2-x+1)
=(1/3)log|x+1|-(1/6)log|(x^2-x+1)|+(1/2)∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
=(1/6)log|(x+1)^2/(x^2-x+1)| +I2

第2項目 I2=(1/2)∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
積分公式 ∫dX/(X^2+a^2)=(1/a)tan^-1 (X/a) +C …(◆)
で X=x-(1/2), a=√3/2 とおけば
 ∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}=(2/√3)tan^-1 {(x-(1/2))(2/√3)} +C
=(2/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C
なので
 I2=(1/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C
I=(1/6)log|(x+1)^2/(x^2-x+1)| + (1/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C

(◆)の公式を忘れた場合は
x-(1/2)=Xと置換積分したあと
X=(√3/2)tan(t)と置換積分すれば I2の積分が出来ます。
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます!
学校の中間テストで困っていたので、とても有り難いです。

お礼日時:2011/11/22 15:43

∫dx/(x^3+1)だったらだいぶ難しくて,


log((x+1)^3/(x^3+1))/6 + arctan((2x-1)/sqrt(3))/sqrt(3)になる。
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この回答へのお礼

最初は楽勝だと思ったんですが...orz
回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/22 15:51

1/x^3+1を積分すればいいのでは?



-1/3x^2+x+C(積分定数)
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