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僕は中学生ですが、虚数というものを友達から聞きました。

2乗して負の数になる数ということらしいですが、基本が狂ってると思います。

聞き間違いでしょうか。2乗して負の数というのは考えられません。

できれば中学生にも分かるように回答お願いします。

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A 回答 (6件)

>2乗して負の数になる数ということらしいですが、基本が狂ってると思います。



おっしゃるとおりです。実数(中学までに習う普通の数です)が持っている性質である「順序(大小関係の事です)」の性質

a > 0 なら aを各々に掛けて、a^2 > 0
a < 0 なら aを各々に掛けて, a^2 > 0

等に関する限り、虚数(一般には複素数といいます)は基本が狂っています。
狂っているどころか(狂っているという表現は正しくなく)、複素数に実数と同じような順序の構造をあたえることはできないこともわかっています。

しかし実数が持っている他の性質、例えば、足し算、引き算、掛け算、0でない実数による割り算の性質は複素数でも同様に成り立ちます。すなわち四則演算の基本は複素数でも狂っていません。

もし高校に進学されれば、数を縦横にならべてひとまとめにした行列というものが出てきます。この行列では、足し算、引き算、掛け算ができ、場合によれば割り算も可能です。しかし、この行列の世界の掛け算では、

AB = BA

は一般に成り立ちません。すなわち

3×5 = 5×3

を当たり前の世界と思っていると、行列の世界の掛け算は「基本がなっていない」ということになります。

最後にたとえ話をしましょう。

最近の携帯電話には、いろいろな機能がついてますよね。カメラ、GPS、音楽再生、、、
これらの機能を全て備えている携帯電話を最初から使っている人にとっては、これらのよく使っている機能の1つでも欠けると、「携帯電話としては基本がなってない」と思うわけですが、世の中にはこれらの機能がついていない携帯電話もあり十分機能しているわけです。そしてそのような携帯電話はシンプルさ由来の自由を使い手にもたらしています。

数の世界も同じで、始めは実数から扱うので、実数が持っている全ての性質を他の数の体系(ここでいう複素数とか行列とか)に求めてしまうのですが、その必要はないということです。複素数や行列等は数学自身をふくめ実に様々な分野で活用され、ある面で物事をシンプルにして役立っています。

このような疑問をお持ちなら、図書館、本屋、ネットなどでいろいろ勉強されることをお薦めします。興味を持った時が勉強開始時期です。高校まで待つ必要はありません。紙と鉛筆と書籍だけで、夢中になれる世界が広がっています。
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この回答へのお礼

わかりやすい例えありがとうございました。高校数学が楽しみになってきました。
早く高校行きたいです

お礼日時:2011/11/23 18:23

ニュートンの頃には、質問者のような人は、大地は動いていない と言っていました



日が昇り沈むのも、星が東から西に動くのも
太陽や星が空で動いていると思っていました
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虚数が「現実にはない」とかいうのは


かなり議論を要するというか・・・私としては「否」と声を大にしていいたい.

小学校のころは
小さい数から大きい数は引くなんて「基本が狂ってる」でしょう
けど,負の数は存在する.
いわば
「0から1の方向とは反対側に進む」
という「180度」の回転ですな
-1をかけるってのはちょうど「180度回転」のようなものです.

じゃあ,二回かけて-1,すなわち「二回かけて180度回転」といば
90度まわすことを考えればいいんです.

180度回転が-1だったら,
90度回転をiと書くことにすれば i^2 = -1 です.

小学校の正の数だけの数直線に,「0の反対側」をつけることで
180度回転を実現したのが「正負両方ある数直線」.
これに90度の回転を加えたければ
数直線の原点のところに「垂直の直線」を立てればいい.
つまり,「座標平面」です.

座標平面に回転という考えを加えてあげることで
立派に「二乗して負の数」というのは考えることができます.
何も狂ってません.
きっちり加減乗除の計算もできます.

そして,二乗して負になる数を含んだ数の体系「複素数」は
現代社会の中で広く使われてます.
すべての交流電気回路の計算は複素数が存在しないと
計算が面倒で面倒仕方がないというか・・・ほぼ無理でしょうし,
物理でも,暗号とかでも複素数は必須です.

#ちなみに高校生があいてなら
#多項式をX^2+1で割った余りを考えると
#複素数がでてくるとかいう例がだせる.
#このとき,X^2 を X^2+1 で割れば,余りが-1だから
#余りだけを考えると X^2 = -1 だったりする.
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虚数は、英語では imaginary number といいます。

「想像上の数」ということです。
実世界には存在しない数なので、イメージしづらいかもしれません。

ただ、虚数が存在しないとすると、
(xの2乗)+1=0
などという単純な形の方程式すら解けないことになってしまい、何かと都合が悪くなってしまいます。
その、都合の悪さを解消するために、数学者が頭の中で考え出した数、それが虚数です。
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数ってその数学の知識で大きく広がります。



例えば、小学校の1年生だと、0,1,2,3,4,5・・・という0以上の整数しか知りません。
従って、10÷4=2あまり2という回答を正しいとしていますし、
3-5は引けないという答になります。
負数ということがわかれば、
3-5=-2という答が出ますし、
これが小数という概念が入ると
10÷4=2.5
と回答しないといけないことになります。が、まだ分数がわかっていないと、
20÷6=3.333333・・・・・
で、割り切れないということになりますが、分数がわかれば、
20÷6=10/3
という答えが導けます。
無理数ということを知らなければ、
Xの2乗=4はX=±2はわかっても、
Xの2乗=5はわかりません。
無理数を知ってはじめて、X=√5≒2.23606・・・・・がわかるのです。

同様に、世の中にはひょっとしたら二乗してもマイナスになる数字があるかもしれないね?
っていうのが、虚数です。
残念ながら、虚数は目に見えません。量を表す事がことができないのです。

戻って、次の問題を解いてみましょう。
「10個のりんごがあって、その中からN個のりんごを食べました。残りは何個ですか?」
これは簡単な方程式で、
X=10-N
で、解けますね。
でも、Nが11だったらどうでしょうか?
10個しかないりんごからは11個は食べられませんよね?
でも、
X=10-N
を単純な方程式だと考えれば、
Nに11を代入すると、X=-1という答は出ますよね?

同様に、
「面積がAm2の正方形の1辺長さは何mですか?」という問題は、
Xの2乗=A
という方程式で解けますよね?
当然、面積にマイナスはないので、Aがマイナスになることはありえません。
が、ただの方程式を考えれば、Aがマイナスでも解けるのではないでしょうか?
このようにある意味では無理やりに、
Xの2乗=Aで
Aがマイナスでも解くためにあるのが、虚数です。
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アニメお好きですか?



アニメって基本的には人間の生活にそくしていますが
画面の隅々まで作りこめるのでいろいろ有り得ない設定を含んでいます
空が飛べたり、超能力を使ったり…
知らない人は、「そんな想像するなんて基本的に狂ってる!」と思うこともあるかもしれません

でもそうすることで話に拡がりを持たせられ、面白く、楽しく見せることができます
そして、たまにその有り得ない設定があることで、深い感動を与えたり、考えるヒントを与えたりすることに繋がり、
人の考え方や行動に、ある意味有用な影響を及ぼす一面もあります

数学の虚数も、アニメの有り得ない設定のようなものと思ってもらったらいいと思います。
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