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3行3列の問題でA=(5 3 -3 0 -1 2 0 0 1)  (行です)逆行列と余因子行列を求めたいのですが
A^-1=??Ã=??┃A┃=??どのように求めればよいのでしょうか?行列はさっぱりわからなくて参考書を読んでもわかりません;;よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

余因子行列を定義どおりに計算して


それを使って逆行列を求めるのは、
多くの場合、計算違いのもとにしかならない。

要求された3つの物のうち、最も簡単なのは
逆行列。掃き出し法を使えば、すぐ求まる。
行列式は、やや面倒だが、基本変形を上手く使って
気合で求める。ここで例え余因子展開を使ったとしても、
余因子行列の全成分を求めるより、計算量は少ない。
逆行列に行列式の値を掛ければ、余因子行列も求まる。
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求め方は参考URLにそっくり載っていますので


それに従って計算するだけです。
参考URL
3行3列の場合
余因子行列の公式
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/math/yoi …
例題
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra …」の例2

A=
(5 3 -3)
(0 -1 2)
(0 0 1)

|A|=
|5 3 -3|
|0 -1 2|
|0 0 1 |

一列目で展開
=5(-1-0)=-5

Ã=
(-1 -3 3 )
( 0 5 -10)
( 0 0 -5 )

A^-1=Ã/|A|=
(1/5 3/5 -3/5)
( 0 -1 2 )
( 0 0 1 )

参考URL:http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/math/yoi …
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| 5 3 -3 |


A=| 0 -1 2 |
| 0 0 1 |

のとき

代数的余因子行列式

  | -1 2 |  | 0 2 |  |0 -1 |
=5|      |ー3|     |-3|     |
  | 0  1 |  | 0 1 |  |0  0 |

=-5+0+0
=-5
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教科書に従ってやるだけなんだけど、それを見ても分かりにくいのも共感できる。



そこで覚え方だけを提案する。

まずは余因子行列から。

教科書どおりいきなり計算すると、恐らく間違える。私なら100%間違えるw

そこで3段階に分けるのをお勧めする。

(1)各成分の小行列式を求める。そしてそれをその成分に置く。
   小行列式とは、その成分と同じ行、同じ列を除いて出来る行列の行列式のこと。
   例えば下図で、行列Aの(1,1)成分(赤い「?」をつけたところ)の
    小行列式は赤い四角で囲んだ2×2行列の行列式になる。
    下図の場合はei-fh
   (1,2)成分も同様に、1行2列を除いて出来る
     (d f)
     (g i)
    の行列式を算出し、青い「?」の箇所に書く
   真ん中の場合は、2行2列を除くので、4隅の成分を寄せ集めてできる2×2行列の
   行列式を真ん中に書く。

   以上を3×3=9個の成分すべてについて行なう。

(2)符号を変える
   下図の(2)で黒字に白で「-」をつけた成分だけ符号を反転させる。。
   プラスはマイナスに、マイナスはプラスにする。
   それ以外の成分(「+」の箇所)はそのまま。


(3)転置する
   行と列をひっくり返す

以上で余因子行列は完成。

   
次に逆行列。これは、上で求めた余因子行列を、元の3×3行列の行列式で割ればいい。

  3×3行列の行列式の算出法は色々あるけど、私の解釈では、問題の行列は三角行列。
  だとすれば、対角成分(左上から右下の3つの成分)を掛け合わせるだけでいい。
  それで余因子行列の各成分を割って出来上がり。
「行列式」の回答画像1
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Aベストアンサー

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、

  x=A^(-1)・b   (1)

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 n>mとします。この場合 x の次元はmで、bの次元はnとなり、条件過多になります。
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 参考書ですが、#1さんの「伊理正夫,一般線形代数」は、厚くて高いけど良書です。私は、次の本を紹介します。

 線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16) (単行本),伊理 正夫 (著), 韓 太舜 (著)

 この本は、「伊理正夫,一般線形代数」より(いくらか)薄くて安くて簡単です。一般逆行列について、系統的に書かれた本は、日本語ではこれくらいだろうと思います。

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q3×3の逆行列の計算

3×3の逆行列の計算

吐き出し法以外の逆行列の計算の仕方をすっかり忘れてしまいました・・・。

0.4 0.708 -0.081
-0.226 1.165 0.046
0 0 0.918

これの逆行列を求めたいのですが、吐き出し法でできる気がしません・・・。
どうやればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(逆行列)=(余因子行列)/(行列式)
で計算すればいいじゃないですか?
参考URL
http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/linear/linear.htm#5

なお、吐き出し法による逆行列の求め方の具体例は次のURLの「3 逆行列・正則行列」の中にありますので参考にして下さい。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h17kisomathe1-03.html

参考URL:http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/linear/linear.htm#5

Q数学についての質問です。 行列Xの行列式を|X|とすると、逆行列X^(-1)の逆行列は |X^(-1

数学についての質問です。

行列Xの行列式を|X|とすると、逆行列X^(-1)の逆行列は
|X^(-1)|=1/|X|
となりますか?

Aベストアンサー

そうなります。

|AB|=|A| |B|なので、B=A^(-1)[←Aの逆行列です]と置くと、

左辺=|AB|=|A A^(-1)|=|E|=1
右辺=|A| |A^(-1)|

よって、|A| |A^(-1)|=1
ゆえに、|A^(-1)|=1/|A|

Q5×5の逆行列の求め方

今5×5の行列
x^2 x^3 xy xy^2 x
x^3 x^4 x^2y x^2y^2 x^2
xy x^2y y^2 y^3 y
xy^2 x^2y^2 y^3 y^4 y^2
x x^2 y y^2 n
の逆行列を求めたいのですが
私が学習した範囲では4×4行列の逆行列を求めること
までしかしていないので、5×5の逆行列の求め方がわかりません。
ご存知の方教えていただけませんか?
お願いします。

Aベストアンサー

元の行列をA,単位行列をEとして,
  (A|E)
とかきます.ここで,「|」はAとEを仕切るためのただの仕切りです.
そして,(A|E) を列変換は用いずに行変換だけを用いて,
  (E|?)
となるまで,慎重に変形してください.このときの「?」が逆行列です.
ここでの行変換とは,行同士の定数倍を足し引きする操作をさします.

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qm×n行列の逆行列

m×n 行列の逆行列に相当する概念として一般逆行列がありますが, m×n 行列 A に対して, n×m 行列 B がAB=Em(Emはm次の単位行列)かつBA=En(Enはn次の単位行列) を満たすとき, B を A の逆行列と定義しないのはなぜでしょうか ?

Aベストアンサー

memorytermさんの質問中にある通りに逆行列を定義しますと
Aが逆行列をもつのはn=mでかつAが正則な場合に
限られます.
たとえばn<mとするとき,成分を補うことにより
Em=ABは
Em = AB = (AO)(B)
....................................(O)
とm次正方行列の積で書けますが,detを比べると
det Em = 1,
det(AO)(B) = det(AO) det(B) = 0*0=0
..................(O).................................(O)
となり矛盾します.n>mの時はABの代わりにBAの
方で考えれば同様に矛盾が出ます.

だからこの定義は従来の定義と
全く同じになってしまいます.

(解答の行列がみづらくてすみません)

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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