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ご教示お願いします。

問題:座標平面上の点 ( p, q )は x^2 + y^2 ≦8, y ≧ 0 で表される領域を動く。
点Q (p+q, pq )の動く範囲を図示せよ。

この解答で,X = p+q, Y = pq とおいて,XとYの関係式
X^2 - 2 Y ≦ 8 ・・・・・・(1)
を作り,かつ,
t^2 - Xt + Y =0 ・・・・・・(2)
が実数解を持つことから,この判別式
D = X^2 - 4 Y ≧ 0 ・・・・・・ (3)
までは考えたのですが,
問題にある“ y ≧ 0” をどのように反映させてよいかがわかりません。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (6件)

No.1の補足についてですが



(p,q)=(x,y)だと固定する必要はありません。
x+yもxyも対称式なので入れ替えてもいいのです。

(p,q)=(0,-1)だとして(2)の解は(x,y)=(1,-1),(-1,1)が存在するわけですが
Qの領域としては(x,y)=(-1,1)がy>=0の領域に含まれるために
対応する(p,q)=(0,-1)は、y>=0という領域からの像に含まれていることが分かります
p-q平面の各点は2つのx-y平面の各点が(二つの解がある範囲で)二つずつ対応するのだと思います

2次式t^2-Xt+Y=0が(0を含む)正の解を持つ条件は
1)t=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y<=0(正と負の解の場合)
2)軸が正でt=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y>=0(正の解二つの場合)
となります
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この回答へのお礼

補足の丁寧な回答ありがとうございます。
後半の2)は,グラフをイメージして,初めて,理解できました。

お礼日時:2011/11/27 21:15

yを反映させることは、No.4さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。

それと(X,Y)の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。
まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか?
点(X,Y)の満たす範囲は
 Xヘ2/2-4<=Y、X^2/4>=Y,とYの場合分け(ここが質問ですが、No4さんが解答している。)ともう一つXの範囲 
すなわち
X=p+q・・(1)
p^2+q^2<=8・・・(2)
横軸をp,縦軸をqとすれば(2)の半径2√2の円のp軸の上半分の半円を動く点(p,q)について直線
q=-p+X・・(1)'のq切片にあたるXの動く範囲を求めればいい。
(1)と(2)のグラフを書けばXの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値X=-2√2。Xの最大値は(1)’をp^2+q^2=8に代入して判別式=0よりXを求めて、正の方のXだから、
X=4 まとめて-2√2<=X<=4としてグラフを書くとイメージがわきます。
P.S(実はP=rsinθ、q=rcosθ (0<=r<=2√2、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。)
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この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
やはり,グラフをイメージするところから考えることの大事さが,
よくわかりました。

お礼日時:2011/11/27 21:19

yを反映させることは、No.4さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。

それと(X,Y)の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。
まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか?
点(X,Y)の満たす範囲は
 Xヘ2/2-4<=Y、X^2/4>=Y,とYの場合分け(ここが質問ですが、No4さんが解答している。)ともう一つXの範囲 
すなわち
X=p+q・・(1)
p^2+q^2<=8・・・(2)
横軸をp,縦軸をqとすれば(2)の半径2√2の円のp軸の上半分の半円を動く点(p,q)について直線
q=-p+X・・(1)'のq切片にあたるXの動く範囲を求めればいい。
(1)と(2)のグラフを書けばXの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値X=-2√2。Xの最大値は(1)’をp^2+q^2=8に代入して判別式=0よりXを求めて、正の方のXだから、
X=4 まとめて-2√2<=X<=4としてグラフを書くとイメージがわきます。
P.S(実はP=rsinθ、q=rcosθ (0<=r<=2√2、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。)
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>問題にある“ y ≧ 0” をどのように反映させてよいかがわかりません。



y ≧ 0さえ保証されれば、xは正でも負でもかまわない。と、言う事。

t^2 - Xt + Y =0 とする。もちろん、 x^2 + y^2=X^2-2Y≦8 だが、問題はその上でどうするか。
(1) x≧0、y≧0 の時
これが実数解を持つから判別式≧0、2解の和=X≧0、2解の積=Y≧0 が条件。
(2) x≦0、y≧0 の時
2解の積=Y≦0 が条件。この時、判別式≧0 は保証されている事くらいは分かるだろう。

X^2-2Y≦8 の上で、(1)、or、(2)の条件を加えると良い。
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q≧0かつp<0のとき、f(t)=t^2-Xt+Yとすれば、f(0)=Y≦0ですよ。


q≧0かつp≧0のときX≧0かつY≧0ですから(等号を含めてもよいことに注意してください。)、求める領域は2つの放物線(1),(3)で囲まれた領域のうち第2象限を除いた範囲(すべての境界を含む)ということになります。
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(2)の少なくとも一方が正の解を持てばいいです


少なくとも正の解をyとすれば、Q=(x+y,xy)を満たす(x,y(>=0))は存在するわけですから
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

ただ,y >=0 (q >=0 )の条件の下で,
p > 0 のとき,Y > 0 , X > 0 より,二つの関数に挟まれた第1象限は,題意を満たします。
しかし,
p < 0 のときは,不明です。

同様に, y<0 の条件の下で,
p < 0 のときは,X < 0 かつ Y > 0 となり,これは,題意を満たさない領域ですから除外すればよいことがわかります。
しかし,
p > 0 のときは不明です。

ここで詰まっていまして,,,ご教示,よろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/11/24 21:09

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座標平面上で,点P(x, y) が -1≦x≦1, -1≦y≦1 を満たしながら動くとき,点Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。

X = x+y, Y = x^2+y^2 と置いて,この後の発想が何ともわからなく,,ご教示お願いいたします。

Aベストアンサー

X = x+y, Y = x^2+y^2

としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト.

ということで,X,Yは(A)をみたすようなx,yが存在することが必要十分です.
つまり
ここでさらに考える.
x+y = A
xy = B
という形の連立方程式ってのは
じつは
t^2 -At + B = 0
っていう方程式の解です.

ということで,
t^2 - X t + (X^2-Y)/2 = 0
という方程式が
-1<= t <= 1
の「(重解を含めて)二つの解」を持つ条件を考えればいい.

f(t) = t^2 -X t + (X^2-Y)
とおけば
f(-1)>=0 f(1)>=0
f(X/2) <= 0
-1 <= X/2 <=1
あたりってところかな.

X = x+y, Y = x^2+y^2

としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト.

ということで,X,Yは(A)をみた...続きを読む

Q高校数学 点(x+y,xy)の動く領域は?

娘に質問され、困っています。助けてください。よろしくおねがいします。

問題「実数 x,,y が条件-2≦x+y≦2を満たすとき、点(x+y,xy)の動く領域を求めよ。」

Aベストアンサー

X = x + y
Y = xy
とおく.

与えられた条件から
-2 <= X <= 2. (1)

Y = x(X - x)
 = -x^2 + xX
 = -(x - X/2)^2 + X^2/4.
ここで
-∞ < x < +∞
なので
Y <= X^2/4. (2)

求める領域は,(1)かつ(2)の所.
---

(2)は次のようにしても得られる.

x, y は t に関する2次方程式
t^2 - (x + y)t + xy = (t - x)(t - y) = 0 (3)
の実数解.よって,(3)の判別式 D について
D = (x + y)^2 - 4xy
 = X^2 - 4Y
 >= 0
が成りたつ.
∴ Y <= X^2/4
---

ちょっと自信がありませんので,鵜呑みにしないでください.


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