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無限等比級数

1/x + 1/x(1 - 1/logx) + 1/x(1 - 1/logx)^2 + 1/x(1 - 1/logx)^3 + ・・・

この級数が収束するためのxの範囲をもとめよ、またそのときの
和を求めよという問題がありました。ただし e は自然対数logXの底である。

xの範囲は、 √e < x でよろしいでしょうか。
あっているかどうか、どなたか教えていただけないでしょうか。
人に聞かれて解答に、どうも自信がありません。

A 回答 (4件)

finetoothcombさん。


>(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.
>の誤りでないでしょうか?

おっしゃるとおりです。f(^^;;
失礼しました。
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oodaikoさんの回答に関して、



(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

とあるのは、

(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.

の誤りでないでしょうか? いずれにしても、最終結果は同じになりますが.自分の勉強のためにコメントしました.結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは、と思ったもので.
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これは


1/x × Σ_{n=0}^{∞} (1 - 1/log x)^n
の意味ですね?
( (1 - 1/log x)^n は分母ではなく1/xの係数ですね?)
そしてxは実数の範囲で考えるのですね?
それなら √e < x でOKです。

1 - 1/log x = r とおくと無限等比級数の収束条件は
|r|< 1ですから、収束条件は

-1 < 1 - 1/log x < 1
となります。
すなわちこの級数は
0 < 1/log x ……(1)
1/log x < 2 ……(2)
の2つの条件を満たすxで収束します。

(1)の条件を満たすためには 1 < x が必要です。
(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

従って(1)と(2)の両方の条件を満たすためには
max{1,√e} = √e < x が必要です。
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自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。

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