無限等比級数

1/x + 1/x(1 - 1/logx) + 1/x(1 - 1/logx)^2 + 1/x(1 - 1/logx)^3 + ・・・

この級数が収束するためのxの範囲をもとめよ、またそのときの
和を求めよという問題がありました。ただし e は自然対数logXの底である。

xの範囲は、 √e < x でよろしいでしょうか。
あっているかどうか、どなたか教えていただけないでしょうか。
人に聞かれて解答に、どうも自信がありません。

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A 回答 (4件)

これは


1/x × Σ_{n=0}^{∞} (1 - 1/log x)^n
の意味ですね?
( (1 - 1/log x)^n は分母ではなく1/xの係数ですね?)
そしてxは実数の範囲で考えるのですね?
それなら √e < x でOKです。

1 - 1/log x = r とおくと無限等比級数の収束条件は
|r|< 1ですから、収束条件は

-1 < 1 - 1/log x < 1
となります。
すなわちこの級数は
0 < 1/log x ……(1)
1/log x < 2 ……(2)
の2つの条件を満たすxで収束します。

(1)の条件を満たすためには 1 < x が必要です。
(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

従って(1)と(2)の両方の条件を満たすためには
max{1,√e} = √e < x が必要です。
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finetoothcombさん。


>(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.
>の誤りでないでしょうか?

おっしゃるとおりです。f(^^;;
失礼しました。
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oodaikoさんの回答に関して、



(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

とあるのは、

(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または √e < x」 が必要です.

の誤りでないでしょうか? いずれにしても、最終結果は同じになりますが.自分の勉強のためにコメントしました.結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは、と思ったもので.
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自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。

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Q無限(mugen)パーツの品質は?

教えてくださいm(__)m

現在ホンダ車に乗っていてちょっとドレスアップなど‥と考えています。

純正のモデューロか無限になろうかと思いますが

無限のパーツは品質が悪い、また納期が異常にかかる、という話を某サイトで目にしました。

モデューロは一応純正ですし、やっぱり品質は無限よりよかったりするのでしょうか?

オレ無限付けてるよ!という方の使用感などお聞かせ下さい。

Aベストアンサー

>無限のパーツは品質が悪い、また納期が異常にかかる、という話を某サイトで目にしました。

そういう話は聞いたことありませんが・・・
実際無限パーツ付けてますが、品質上なんら問題ありませんし、
納期も在庫があれば2~3日です。

無限はディーラーで頼むと定価ですが、
ネットだと安く買えるところもありますよ。
無限であれば、ディーラー持ち込みもOKのはずです(事前に確認してくださいね)

参考URL:http://www.rakuten.ne.jp:80/gold/carparts2/

Q1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少

1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよという問題なのですが,
1+x=yと置き換えて考えたのですけれど、躓きました。お力をお貸しください。

Aベストアンサー

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3の[0,1]における最小値を求めよ」
という感じになるはずですからね。

さて、置き換えを使ってもあんまり簡単にならないので、そのまま分母を払って整理すると、
「x^3+2x^2-2=0の実数解を少数第7位まで求めよ」
という感じになりますが、これは[0,1]に実数解をひとつ、さらに虚解がふたつあることは容易に分かります。で、その解ですが、カルダノの公式を使えば、
「3x=-2+(19-3√33)^{1/3}+(19+3√33)^{1/3}」
であることは容易に分かります。ただ、この値を手計算で少数第7位まで計算するのはやはり困難なので、近似計算を手計算するのであれば、ニュートン法あたりを使うのがオーソドックスでしょう。ちなみに、このxを20桁精度で計算すると、
「x=0.83928675521416113255…」
になります。

以下、ニュートン法。f(x)=x^3+2x^2-2とおいて、(x_n,f(x_n))で接線を引き、x軸との交点をx_{n+1}とおいてみましょう。そうすると簡単な計算から、
「x_{n+1}=2(x_n^3+x_n^2+1)/(3x_n^2+4x_n)」
となることが分かります。x_1=1からスタートすれば、x_nは解の近似を与えるから順番に計算していきます。そうすると、
「x_2=6/7=0.8…」
「x_3=811/966=0.839…」
「x_4=2070198913/2466616761=0.839286…」
「x_5=6263804199613897189499314834/7463246811294598892464483629=0.83928675521416…」
となるようですね。しかしニュートン法使ったところで、x_4辺りが手計算の限界のようには感じますが、これでも少数第6位ぐらいまでしか合わないみたいですね。ちなみに精度はステップをひとつ上げると桁数が倍になるぐらいの感じです。

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1...続きを読む

Q無限エアロ&Moduloエアロについて

ホンダの新型ストリームを買う予定をしています。
それでエアロパーツをつけようと思うのですが無限エアロとModuloエアロの違いってなんでしょうか?
無限エアロのほうがローダウンしているのでしょうか?
もしよろしければ地面から何cmとかわかれば教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

tanshio2さんの回答にある通り、
無限エアロは無限(正しくはM-TEC)が開発したもので、Moduloエアロはホンダアクセス(本田技研の子会社)が開発したものです。
しかし、M-TECはホンダグループではありませんので、メーカー純正パーツはあくまでもModuloだけです。
ディーラーで車と一緒に購入するばあいも、Moduloは値引きしてくれますが、無限は定価販売でした。
どちらのパーツを付けても問題なく車検を通りますが、無限エアロの方が開発時の制約が少ないため、見た目もちょっと派手だったり空力効果(特にダウンフォース)も、無限製の方が大きいようです。

ちなみにローダウンに関してですが、
どちらもエアロも最低高はさほど変わらないと思います。
カタログ等の写真は、ローダウンサスも組まれているため無限エアロの方が下がっているように見えるのではないでしょうか。

Qlim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は?

lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合:
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Q無限エアロ&Moduloエアロ

ホンダの新型ストリームを買おうと思っています。
それで無限エアロかModuloエアロをつけようかと思っています。
それで皆さんの意見を聞かせてください。
皆さんだったらどちらのエアロを選びますでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

デザインで選べばいいでしょう。こればっかりは完全に好みですね。
品質は両方とも所謂「社外品」に比べると格段にいいです。
モデューロは(株)ホンダアクセス(100%子会社)、無限は(株)エムテック(ワークス扱い)

無限は利益率が低いので値引きはほとんど出来ません。税抜き部品価格の3~5%
モデューロは税抜き部品価格の10%~15%程度なら可能です。
工賃値引きは営業より工場長を巻き込んで商談しましょう(笑)

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q無限のチューンアップパーツを見たい(買いたい)のですが。。

ベルギー人の夫が車好きで、こちらでホンダのフィットを買ったのですが、無限の製品でチューンアップしたいそうなんです。
こちらでは無限の製品はアメリカ経由での輸入という形になるので、実物を事前に見ることも出来ず、コストもかなりかかります。
今年の冬、私の帰省について来るので、その時いろいろ品物を見て(出来れば説明などもしてもらって)買い物をしたいようですが、私自身が車オンチなので、どこに連れて行ってあげればいいのかさっぱり分かりません。どうぞアドバイスよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ドレスアップが主目的なら、無限のエアロパーツを付けた中古車を検索して、近場のを見に行くのもいいかもしれません。
http://www.carsensor.net/
のフリーワードで「フィット 無限」で検索すると良いでしょう。
場合によっては、無限マフラーの音を聞かせてもらうことができるかもしれませんね。

チューンアップが主目的なら、無限以外にもホンダ車専門のチューンアップパーツを作っているところもあります。
無限にこだわらなければ、ホンダツインカムなども喜ばれるかもしれません。
http://www.hondatwincam.co.jp/index2.html

また、ホンダ純正のModuloブランドのドレスアップパーツも色々あります。
http://www.honda.co.jp/ACCESS/modulo_top/
欧州での取り扱いがなかったり高価ならば、インテリアパーツなどの小さいものをお持ち帰りするのも良いかもしれません。取り寄せに数日か1週間ぐらいかかると思いますが。

Qf(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120 とおけるので、

(1)の結果
【1】f'(x)は単調増加
【2】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【3】すべてのxについて f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x) より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 (【3】より)
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,  g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0) [ g(α)=0 ]

こんな風に利用できないですか。

Q無限CR-Zのカタログ入手方法

はじめまして。こんばんは。

現在、ホンダCR-Zが購入希望で、様々な情報を入手・確認しています。
さて、無限CR-Zのカタログを入手したく、M-TECの公式サイトにアクセスしましたが、カタログ請求のページが見つからず、どのように方法でカタログを入手すればよいかほとほと困っております。

どなたかご存知の方はURLや入手方法等を教えていただけると嬉しく思います。

Aベストアンサー

CR-Zはホンダ車なので、ホンダのホームページからカタログ請求してみてください。
私の場合、発売前に請求して発売後2日ほどで無限オプションカタログとともに届きましたよ。

Qx^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、 
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む


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