A町からB町に向かって一定の速さで歩いている人がA町発B町行きのバスに7分ごとに追い越され、B町発A町行きのバスに5分ごとに出会った。A町行き、B町行きともに等間隔で運行しているものとすると、バスは何分何秒ごとに発車しているか。
・・・という問題です。解説では相対速度という考え方で説明しているのですがよくわかりません。わかりやすい解き方があれば教えてください。

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A 回答 (3件)

正解はnanashisanさんと同じで5分50秒だと思います。


この問題は小学生の算数(ただし、中学受験)で出題されてもOKな問題なので難しい話をしなくても解けます。図を使うと分かりやすく説明できるのですが…うまく伝わるかどうか心配です。
ポイントはバスは人の6倍の速さで走っているということです。これさえ分かればあとはとんとん拍子に話は進みます。ではこれをどのようにして求めるか?
私は算数の専門家ですので、少し算数風に解いてみることにします。

「人とバスが出会う場合」
今まさに人とバス1号が出会った瞬間とします。今から5分後に人はバス2号と出会うわけですが、このとき、バス2号はずいぶん遠くにいます。ここから人は「人の速さ×5分」歩き、バス2号は「バスの速さ×5分」走ります。したがって、バス1号とバス2号は「人の速さ×5分+バスの速さ×5分」の距離だけ離れていたことが分かります。

「バスが人を追い越す場合」
今まさにバス3号が人を追い越した瞬間とします。今から7分後に人はバス4号に追い越されるわけですが、このとき、バス4号はバス3号より「バスの速さ×7分-人の速さ7分」の距離だけ離れたところにいます。

以上のことにより、A町行きのバスもB町行きのバスも等間隔で運行されているわけですから、「人の速さ×5分+バスの速さ×5分」=「バスの速さ×7分-人の速さ7分」が成り立ちます。よって「人の速さ×12分」=「バスの速さ×2分」より、バスの速さは人の速さの6倍であることが分かります。

ここで、人の速さを毎分50m、バスの速さを毎分300mとすると(これは適当です)バスとバスの距離の間隔は「人の速さ×5分+バスの速さ×5分」より、1750mだと分かり、これを時間の間隔に直して 1750÷300=5分50秒というわけです。

もっと、美しい解き方もあるのでしょうが、とりあえずこんな感じでどうでしょうか?
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この回答へのお礼

こんなに早く回答が来てビックリです。
しかも、とってもわかりやすい!
ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/08 16:58

バスの走行速度= y [km/min]


人の歩行速度 = x [km/min]
バスの出発時刻間隔= w [min]
同一町行きの連続する二台の走行中のバスの成す距離= z [km]
とします.

「A町からB町に向かって一定の速さで歩いている人がA町発B町行きのバスに7分ごとに追い越され」
z[km]=7[min] * (y-x)[km/min]---(1)

「(A町からB町に向かって一定の速さで歩いている人が)B町発A町行きのバスに5分ごとに出会った」
z[km]=5[min] * (y+x)[km/min]---(2)

「A町行き、B町行きともに等間隔で運行しているものとする」
z[km]=w[min] * y[km/min]---(3)

(1),(2)からzを消去すると
y= 6x---(4)

(2),(3)からzを消去すると
w = 5*(1+x/y) ---(5)

w = 5*(1+1/6) [min]
= 5 + 50/60 [min] ---(6)
(6)から、バスの運行時刻間隔は、5分50秒間隔.(終わり)
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70分÷12回

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最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、
次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
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a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1
=a^2+b^2−1

であっていますでしょうか?

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順番通りに機械的に計算するのがコツです。

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左の b と 右の a, -b, +1 をかける。
左の -1 と 右の a, -b, +1 をかける。

これを 「a・aがあって、b・bがあって...」と考えながらやると、抜けが出てしまいます。

あとは、既に出ていますが X=a+b とすると、よく知られた公式だけで解くことができて簡単になります。

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
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