片持はりの問題です。

片持はりの問題です。
次の片持ちはりの問題ですが、答えが合わず困っています。
円形断面d=25mm 長さL=1m の軟鋼製片持はりの自由端に集中荷重Wが作用した時、最大曲げ応力が108GPaを
超えないようにするには 自由端のたわみはいくらまで許せるか ただし E=206GPaとする という問題です。
Eははりの縦弾性係数です

僕は自由端からの距離xでの曲げモーメントを求め、
ｘでのたわみy(x)を求めました。

次いで、最大曲げ応力<=108GPaより 荷重Wのとりうる範囲を決め

Wをy(1)であらわし、範囲に当てはめ、y(1)の最大値を求めましたが、
答えが合いません。
こたえ1.4cmに対し 1.048cmと出てしまいます。
さっぱりわかりません。


どなたかよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2011/12/04 22:28

片持ち梁では、固定端で最大の曲げモーメントが発生し、その大きさはM = WLとなります。

固定端での最大曲げ応力は部材の外縁において発生するため、
断面係数をZ、最大曲げ応力をσaとすると、
M / Z = σa
となります。
よって、許容荷重Waは、Wa = σa * Z / L です。

一方、自由端のたわみδは、断面二次モーメントをIとすると、
δ = WL^3 / (3*E*I)
となります。
よって、許容たわみδaは、Wに先ほどのWaを代入し、
δa = σa * Z * L^2 / (3 * E * I)
となります。

ここで、I / Zは中立軸から外縁までの距離なので、円形断面の場合I / Z = d/2となります。
（ちなみに、I = πd^4 / 64、Z = πd^3 / 32です）
これも代入すると、δaは最終的に
δa = 2 * σa * L^2 / (3 * E * d)
となります。

これに問題の諸元を代入すると、
δa = 1.398 ≒ 1.4 cm
となります。
（最大曲げ応力は108MPaですよね？）