D(t)=-∫[-B(z)]exp{-∫[r(u)du]}dz
一つ目の積分区間は[t,∞] 二つ目の積分区間は[t,z]とする。

を全微分すると、答えはdB(t+s)+{exp∫[r(u)du]}dB(t)=0
この積分区間は[t,t+s]が解決できなくて、大変------こまっております。
ご存知の方、ヒントでもかまいませんので、
お教え頂けますでしょうか。
どうぞ宜しくお願いします。

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A 回答 (2件)

siegmund です.



う~ん,意味がよくわかりませんね.
前に書いたように,(2)はBとrとの間に何か関係があることを意味しています.
D(t) に何か特別な性質があるというなら,
それからBとrの関係がつけられそうですが.
D(t) に特別な性質はないのでしょうか?

それから,(2)は任意のsについて成立するという意味ですか?
もしそうなら,s=0 とおくと,
∫[r(u)du} の積分はtからtまでになるのでゼロ.
したがって,-(exp{∫[r(u)du})=-1 ですね.
そうすると,このとき(2)は
dB(t)=-dB(t) となって,どうも話が変ですよ.

どこかに間違いが見落としがあるような気がするんですが....
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質問にどこか間違いがないでしょうか?



(1)  dB(t+s)+{exp∫[r(u)du]}dB(t)=0
はBとrとの間に何か関係があることを意味しています.
DはBとrから新しい関数を作っただけですから,
Dの式はBとrの間に何も関係はつけません.

この回答への補足

D(t)=-∫[-B(z)]exp{-∫[r(u)du]}dz ・・・(1)
一つ目の積分区間は[t,∞] 二つ目の積分区間は[t,z]とする。
は、(1)をdB(t+s) とdB(t)で全微分すると、
dB(t+s)=-(exp{∫[r(u)du})dB(t)・・・(2)
と書いてあります。
Dは全微分で消えるということなんでしょうか?
(1)から(2)の導出がうまくいきません。
宜しくお願い致します。

補足日時:2001/05/06 20:47
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Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q2B範囲の受験 定積分 体積 出題される?

カテゴリを迷ったのですが、まずはこちらで質問させてください

現行課程において大学受験の数学で「2Bが範囲」と銘打っているのに
定積分を用いて体積を求める問題が出題されたことはありますか?
(【定積分を使って求積すると楽な問題】とかでは無く
【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

それというのも、現行課程において定積分を用いて体積を求める手法が
3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

Qlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比...続きを読む

Aベストアンサー

「これを最初の式と比べる」以降の計算は、
各 lim が収束することを根拠なく仮定している。
もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのようになりますか?

Aベストアンサー

>ただ、電束密度Dと表面電荷密度ρ(C/m^2)の関係をもとめたいのです。
>マクスウェル方程式のdivD=ρを用いるのですか?

divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
divが微分演算子なので、これが微分形。
この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

Q積分値Integrate[Abs[Sin[x]/x], {x, Pi, 2 Pi}]について

mathematicaで

Integrate[Abs[Sin[x]/x], {x, 0, Pi}]
をしたら、
SinIntegral[\[Pi]]
がでました。これはどういうものをあらわしますか?
よめないです。。。教えてください!

できれば、Abs[Sin[x]/x]の0-Pi、Pi-2Pi、・・・積分値の漸化式かI_nを教えていただけたらありがたいです。

Aベストアンサー

>SinIntegral[\[Pi]]
正弦積分関数Si(x)という特殊関数のx=πにおける値になります。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%28x%29%2Fx%2Cx%2C0%2CPi%29

積分値が Si(π)=1.85193705...
ということです。
なお、x=0~πの積分区間では、sin(x)/x≧0なので絶対値はそのまま
はずれ、単なるsin(x)/xの積分になります。

∫[0,π] abs(sin(x)/x)dx=∫[0,Pi] sin(x)/xdx=Si(π)

x=π~2πの積分区間では、sin(x)/x≦0なので絶対値は、
「- sin(x)/x」の積分になります。
∫[π,2π] abs(sin(x)/x)dx=∫[π,2π] {-sin(x)/x}dx
=Si(π)-Si(2π)=0.433785476...

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
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(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Q積分 ∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx の積分の仕方をご

積分 ∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx の積分の仕方をご教授ください。
部分分数分解や、あるいは、分子の辻褄合わせと ∫{1/(x^2+1)}dx=arctan(x) との組み合わせを使ってできそうでもあるのですが、元の式の形がわりときれいであるために、もっと手短に解ける方法があるような気がします。

Aベストアンサー

∫{ 1/(x^2+1) }dx = arctan(x) は使わない。
これは、素直に部分分数分解で求めるべき積分である。

積分すると、
∫[ (x^2-1)/{x(x^2+1)} ]dx
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Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
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Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
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(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
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QMathematica f[{x, y}]を f[{a, x, y}]に変えたい

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式の f や g の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w})の先頭に,a を付け加えて, f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}] のようにしたいと考えています.
(すなわち,f[{x, y}]+g[{z, w}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]に変えたり,また他の例としては,f[{x, y}]+g[{z, w}]+h[{c, d}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]+h[{a, c, d}]に変えたりしたい.)

このとき,例えばPretendを使うと,
Prepend[f[3, 1], 2]
によって,f[2, 3, 1]が得られることなどは知っていますが,上記のようなものに対して,どのようにすればよいのかが,わかりません.

もしもご存じの方がおられれば,お教え頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

パターンマッチングを使うのがMathematica的です。

f[{x, y}] + g[{z, w}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[{a, args}]}


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