No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Q:四角形ABCDは平行四辺形であり、E、Fはそれぞれ辺AD、CD上の点、GはAFとBEとの交点である。
AE:ED=2:1、CF:FD=1:1のとき、次の問いに答えよ
>1.BG:GEを最も簡単な整数比で表せ
>2.AG:GFを最も簡単な整数比で表せ
2.の方が先に答えが出てくるのですが、両方とも混ぜ合わせた感じで説明します。
点FからAD,BCに平行になるように線分を引き、BFとの交点をH、ABとの交点をIとします。
1)
FI,AD,BCは平行だから、BI:IA=BH:HE=CF:FD=1:1になります。
△BEAにおいて、上のことよりBI=IA,BH=HEだから、
中点連結定理(知ってますよね?)によって、IH=(1/2)AE
AE:ED=2:1より、AE=(2/3)AD……(1)
よって、IH=(1/2)AE=(1/2)・(2/3)AD=(1/3)AD
AD=IFだから、HE=IE-IH=AD-(1/3)AD=(2/3)AD
よって(1)より、AE=HE……(2)
△AEGと△FHGは合同です。
AEとHFが平行だから、角EAG=角HFG,角AEG=角FHG、
さらに(2)より、1辺と両端の角が等しいからです。
よって対応する辺は等しいので、AG=GE よって、AG:GE=1:1(2.の答え)
また、HG=GEより、HG:GE=1:1……(3)
2)
BH:HE=1:1より、BH=(1/2)BE……(4),HE=(1/2)BE
(3)より、HG=(1/2)HE=(1/2)・(1/2)BE=(1/4)BE……(5)
同じくGE=(1/2)HE=(1/4)BE……(6)
(4),(5)より、BG=BH+HG=(1/2)BE+(1/4)BE=(3/4)BE
(6)よりBG:GE=(3/4)BE:(1/4)BE=3:1
よって、BG:GE=3:1(1.の答え)
分数が多くて大変かもしれませんが、図と良く照らし合わせて考えてみて下さい。
No.4
- 回答日時:
訂正があります。
申し訳ありません。>よって、IH=(1/2)AE=(1/2)・(2/3)AD=(1/3)AD
>AD=IFだから、HE=IE-IH=AD-(1/3)AD=(2/3)AD
>
>よって(1)より、AE=HE……(2)
のところ、
AD=IFだから、HF=IF-IH=AD-(1/3)AD=(2/3)AD
よって(1)より、AE=HF……(2)
のように、お願いします。
No.1
- 回答日時:
ひとつ前の問題よりこちらの方が分かりやすいかも知れませんね。
以下、ヒントのみです。
1)AFをそのまま延長してBCの延長線上の交点をHとする。
(相似となる)△FADと△FHCの比は?
(相似となる)△GBHと△GAEの比は? (AEとBHの比を計算して求める)
2)同様に、BEをそのまま延長してCDの延長線上の交点をIとする。
(相似となる)△EABと△EDIの比は?
(相似となる)△GABと△GFIの比は? (ABとFIの比を計算して求める)
平行四辺形は相似の条件が出しやすい(補助線を引けばあらゆるところに相似の関係が出来易い)ので、分かり易いと思います。
ご参考に。
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