数列の問題です。ヒントをください

【問題文】
nを自然数として、２つの数列

Ａn=2^n
Ｂn=3n+2

について｛Ａn｝の項のうち｛Ｂn｝の項であるものを小さい順に並べることで得られる数列を｛Ｃn｝とする。
｛Ｃn｝は等比数列であることを示せ。


自分は
まず基本通りＣ1から順にＣ4くらいまで書き出していきました。その際、Ａn=2^nだから、Ｂn=3n+2=2｛(3n/2)+1｝として｛(3n/2)+1｝が2^kのような形になるように気をつけました


結果は

Ｃ1=8=2^3
Ｃ2=32=2^5
Ｃ3=128=2^7
Ｃ4=512=2^9

やはり等比になっているけれど


ここからどうしようか悩み、帰納法でやってみようかと思い

Ｃn=8・4^(n-1)(nは自然数)…(※)
と推定し

(I)n=1の時、(※)は明らかに成立

(II)n=kのとき(※)が成立すると仮定し、この仮定下でn=k+1のときも(※)が成立することを示したい


…けどどうやって？
となりました



Ａnの項のうちＢnの項であるものをがＣnといっても
そうなるときのnの値は全てばらばらだし…


それ以前に方針が間違っているのでしょうか？

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2011/12/15 23:30

X = { x | ∃p(pは整数 かつ x=2^p) かつ ∃m(mは整数 かつ x=3m+2)}

という集合の要素を小さい順に並べたものが求める列Cである。(「∃z(....)」は「あるzが存在して、(....)が成立つ」と読みます。）
　そこで例を作ってみて、
　　C[1]=2^3=3×2+2, C[2]=2^5=3×10+2, C[3]=2^7=3×43+2, C[4]=2^9=3×170+2, ...
となってることを見つけた。どうやら、
　　C[n] = 8×4^(n-1)
になっているようだ。

と、ここまでやった。
そこで帰納法を使いたいと仰る。

> (I) n=1の時、(※)は明らかに成立

　いやいや、明らかじゃないでしょう。
　証明しなくてはならないのは「集合Xの最小の要素が8であること」です。だから、「8が集合Xの要素であること」を示すだけではまだ不足です。
　（幸い、Xの要素が全て自然数であることは自明なので）「0?7がどれも集合Xの要素でないこと」を証明すればいいですね。

> (II)n=kのとき(※)が成立すると仮定し、この仮定下でn=k+1のときも(※)が成立することを示したい

　ということは、「「Xの要素のうちで、C[k]よりも大きいもの」のうちで最小のものはC[k+1]だ」という事を証明するんです。
　だから、C[k+1]∈X（つまり、C[k+1]=3m+2 となる整数mが存在し、かつC[k+1]=2^pとなる整数pが存在すること)を証明するだけではなく、さらに、C[k]＜s＜C[k+1]であるような自然数s全てについて、sがXの要素ではない（つまり、s=3m+2 となる整数mが存在しないか、あるいはs=2^pとなる整数pが存在しないか、少なくとも一方が成立つこと）を証明する必要があります。

この回答へのお礼

自分もそれを思いました

帰納法だと、最初の自分のやり方は明らかに変だと感じました

帰納法でできたとしても明らかに大変

そこで
いろいろわかっていることを考えてみると

少なくともＡnとＣnはなにか関連づけることができるのではないかということと

問題文で『等比数列であること証明せよ』という微妙な言い回しがきになりました


しばらくして

『そもそもＣｎを基準に考えている時点でおかしいのでは？
Ｃnが等比ということを示すのではなく、Ａnの項がＢnに等比的に含まれていることを示せばいいのでは？』

となりました

そこで
Ａnの項でＢnに含まれるものを並べていくと

2^3
2^5
2^7
2^9
2^11
・
・
・

明らかにＡnにおいては『奇数項のとき』Ｂnに含まれるものがある

ところで

Ｂn=3n+2


一方
Ａn=2^n

………ＡnをＢnに関連づけられないか？となり、無理やり3を出現させるとしたら…



Ａn=(3-1)^n

か…

展開したら

Ａn=3^n+nＣ1｛3^(n-1)｝(-1)+…………nＣ(n-1)3・(-1)^(n-1)+(-1)^n

すなわち

Ａn=３×【整数】+(-1)^n

nについて倍数わけすると

Ａnは
nが偶数だと3で割った余りが1
この商をＮ(自然数)とすると

Ａｎ=3Ｎ+1

nが奇数のときは、3で割った余りが2

Ａｎ=3Ｎ+2


よってＡｎにおいてＢｎに含まれてるものが、奇数間隔で存在する

すなわち

Ｃｎは等比が４、初項が８の等比数列

お礼日時：2011/12/16 10:42

No.4 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/12/15 19:23

8は3*2+2

4は3*1+1

n=kで3*l+2なら
n=k+1の(3*l+2)*4=(3*l+2)*(3*1+1)は？

帰納法の証明はそうですが4倍の間の2倍が3*l+2ではないことも言わないと…

No.3 回答者： 87c567d7 回答日時： 2011/12/15 18:52

すみません。

間違えました。
調べる数を、もう１つ増やして割った値が両方同じか調べてください。

No.2 回答者： 87c567d7 回答日時： 2011/12/15 18:36

(I)n=1,n=2の時割り切れるかどうかを判定

(II)n=k,n=k+1の時割り切れると仮定し、n=k+1,n=k+2の時も調べる。

No.1 回答者： inuhou0810 回答日時： 2011/12/15 18:19

単純にやっちゃってください。

>Ａnの項のうちＢnの項であるものをがＣnといっても
>そうなるときのnの値は全てばらばらだし…

そりゃそうです。
AnとBnとCnのnは全て違うnですから。