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こんにちは。検索しましたがあまり見つからないので質問させて頂きます。
バネとダンパからなる系の運動方程式についての問題なのですが

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5542264.html

この図においてダンパと直列にバネを配置し
合計三つの要素を含む系の運動方程式と解法を知りたいです。
(上のバネの定数をk1、下の列のダンパをc1、追加するバネをk2などとして)
色々本も探したのですが分かりませんでした。

最終的にさらに要素を増やした場合の式もたてられる様になりたいのですが
もしよろしければこういう本の情報まで教えて頂ければ幸いです。
ぜひよろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

 Massの質量がm, その位置座標がx、壁とmassをつなぐバネのバネ定数がk2で自然長がL2。


 ダンパーと直列に、もう一つバネ(バネ定数k1, 自然長がL1)をmassに近い側に入れるとして、このバネとダンパーとの継ぎ目の座標をyとします。すると、外力u(t)があるとき、
u + m x’’ + c1 y’ + k1(x-y-L1) + k2(x-L2) = 0
という方程式になる。

 当然、x(t)とy(t)の両方の時間発展について考えなくちゃいけません。たとえば、x(0)=x0, x’(0)=0、というだけではまだ状態は決まらない。y(0)の値によってバネk1の出す力が違いますし、ダンパーの出す力はy’(0)の値に依る。そういう系ですね。
 外力u(t)をぐりぐり変化させると、xがへんてこな動きをして面白そうです。
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Q物体にバネとダンパが付いているものの運動方程式を考えるとき,

物体にバネとダンパが付いているものの運動方程式を考えるとき,
バネとダンパが物体の右側についているときと,左側についているときとで,
運動方程式は変わってきますか?

Aベストアンサー

力F(質問者の記号では u )の符号が変わるだけです。

下の図を基準に取り、X軸方向だけの方程式とすると
運動方程式は

F = m*(d^2x)/(dt^2) + D*d(x1-x2)/dt + k(x1-x2)
x1 + x2 = x

ここに
x1 は質量mの変位、
x2 はバネとダンパーの変位、
D はダンパー係数、
k はバネ定数です。
バネとダンパーが壁に固定されている場合、x2=0, x1=x となり。
運動方程式は
F = m*(d^2x)/(dt^2) + D*dx/dt + kx
となります。

上の図では、力F が -F になります。

Qダッシュポット 並列

こんばんわ。いきなりですが教えて下さい。

弾性(バネ定数)をもつバネとかは、並列だとk1+k2とかですよね。直列だとk1k2/k1+k2でしたかね・・・?

これって粘性(ダッシュポット)とかでも当てはまるんですかね??並列はc1+c2とか。バネと同様に足したり、引いたりできるのですか?またそのメカニズムは・・・?

減衰に関して詳しい方ぜひぜひ教えて下さい、お願いします。

Aベストアンサー

 
 
1.
>> そのメカニズムは・・・? <<

 普通ダッシュポットは、流体中で物を動かすときの抵抗が流速に比例する範囲を使っています。手抜きですみませんが下記を;ここで言ってる「流体の分子が固体表面の分子や結晶原子に次々と衝突して運動量を持ち去ってしまう」ことがミクロなメカニズムです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://www.airpot.com/beta/images/dash_160.jpg
 なお、電車やクルマの電磁ブレーキは 発電の電圧が磁界と速度の積なので ダッシュポットの一種です。(低速では効かない。)



2.並列の場合;
(上記URLの説明を流用して)並列にすると擦れる面積が 数の分増えるから それの足し算ですね。



3.直列の場合;

   ┏━━┓     ┏━━┓
   ┃ ┃ ┃     ┃ ┃ ┃
 Z ┫ ┣━━ B━━━┫ ┣ A
   ┃ ┃ ┃     ┃ ┃ ┃
   ┗━━┛     ┗━━┛

 Zを固定してAを引っ張る。
左のpotでBが受ける力 F1(左向き)は、Bの速度を 未知数 Vb とすると
  F1 = k1・Vb  kはpotの性能係数

右のpotでBが受ける力 F2(右向き)は、AとBの速度差に比例するから
  F2 = k2・(Va-Vb)

で、もし両者が不釣り合いなら、下図で分かるように、釣り合い点に向かう力になる。

 力F
   |
   |
   |\      F2=k2Vb 左向き
  │ \   /
  │   \/
  │   /\
  │ /   \ F1=k1(Va-Vb) 右向き
   |/      \
  0 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄Vb

F1=F2 の状態でのBの速度が求まり、
  Vb = Va・ k1/(k1+k2)
これをF2の式に入れて、
  F2 = Va・k1k2/(k1+k2)
となり、並列の式が求まった。



 余談;
直列接続で; 両端の力はなぜ F1+F2 にならないのか?という疑問があったら、この問題とは別個の頭の体操です。いま、力自慢のAさんが図のように車両2台を左右の腕で引き寄せています。
   クルマ───Aさん───クルマ
しかし、あとほんの少し力が欲しいので、Aさんの子どもを、
   クルマ───Aさん──3歳児───クルマ
親子そろって全力を出すと両端の力は F1+F2 でしょうか。と言うよりもAさんは全力を出せますか?
 
 

 
 
1.
>> そのメカニズムは・・・? <<

 普通ダッシュポットは、流体中で物を動かすときの抵抗が流速に比例する範囲を使っています。手抜きですみませんが下記を;ここで言ってる「流体の分子が固体表面の分子や結晶原子に次々と衝突して運動量を持ち去ってしまう」ことがミクロなメカニズムです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://www.airpot.com/beta/images/dash_160.jpg
 なお、電車やクルマの電磁ブレーキは 発電の電圧が磁界と速度の積なので ダッシュポットの一...続きを読む

Qばねとダンパーのついた物体の振動

画像につけたような、ばね定数K、減衰係数C、質量Mの状態で振動の基礎が

y=Ysinωt

で揺れた場合の質点の最大変位をXとして

|X|/|Y|を求めよ。

という問題です。

正直、あまり基礎がわかってないので(高校で物理をやってないもので泣)

大変困っています。

誰か、解説お願いします!

Aベストアンサー

No.1です。

最後にCと大文字で書いたのは減衰係数ではなく、定数の意味で書きました^^;ややこしかったですね。
あと、x=Xsinωtとおくと書きましたが、答え(応答)の振動はcosかもしれませんので
x=X1sinωt+X2cosωt とおかなければなりませんでした><これも間違ってましたすみません・・・

定数は初期条件から求められます。なので、t=0の始めの状態で、変位0、速度0などの条件を設定してあげれば求められると思います。↓↓順序です

まず同次解ですが、適当に定数をCと書きましたが、λは2つ出てきますよね!?なので実際は
同次解x=C1exp( )+C2exp( ) みたいな形になるはずです。このときのC1とC2はひとまず置いておきます。

次に特解ですが、運動方程式に代入すると左辺はsinやcosが混じった式、右辺は強制力のsin項となりますね。ここで左辺をsinのみの項とcosのみの項に分けて、右辺と係数比較します。
すると式は2つ出てきますから、未知数X1とX2は求まります。

求める解はx=同次解+特解 であり、まだ同次解には未知数が2つ残された状態ですね。
ここで初期条件を考慮します。

変位と速度でxとx’を出す必要があるので、頑張ってガリガリ微分してください。
それからt=0で変位速度ともに0としてやれば、式は2つできるので未知数2つは求められます。

完成です!

No.1です。

最後にCと大文字で書いたのは減衰係数ではなく、定数の意味で書きました^^;ややこしかったですね。
あと、x=Xsinωtとおくと書きましたが、答え(応答)の振動はcosかもしれませんので
x=X1sinωt+X2cosωt とおかなければなりませんでした><これも間違ってましたすみません・・・

定数は初期条件から求められます。なので、t=0の始めの状態で、変位0、速度0などの条件を設定してあげれば求められると思います。↓↓順序です

まず同次解ですが、適当に定数をCと書きましたが、λは2つ出てきま...続きを読む

Qブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の

ブロック線図の簡略化について。

伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。
写真の問題で答えは下に書いてありますが、どのようにして導けるのか分かりません。

基本的な縦続や並列、フィードバックや加え合わせ点の移動などは理解しています。

ご教授お願いします。

Aベストアンサー

簡略化の過程を添付図で説明します。

 まず(a)から(b)へ
G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、

   G2_in=xG3+(x-yH)G1   (1)

この式を書き直し変形して

   G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2)

と表されます。
 この式(2)をもとにブロック図(a)を書き直すと(b)のように書き直せます。
 それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。

Qダンパの衝撃吸収性について

物体を地面に落下させたときの衝撃力は、衝突面間にバネを介すことで、接触時間が長くなり衝撃力が小さくなりますが、

さらにダンパを加えた場合、バネのみの場合と比べて衝撃力は小さくなるのでしょうか?もしそうだとしたら、何故でしょうか?

力学的に説明できる方、教えてください。

Aベストアンサー

回答の前に

>バネを介すことで、接触時間が長くなり衝撃力が小さくなりますが、
この考え方は、あまり正しくありません。この場合、重要なのはバネによって変化する「時間」でなく「変形量」です。したがって
#バネを介すことで、接触時の変形が大きくなり衝撃力が小さくなりますが、
が正しい文です。

衝突時の力の計算方法は、バネ単独の場合は
最初の位置エネルギー
E0 = m*g*h
が、バネ変形によるポテンシャルエネルギー
E1 = 1/2 *K*x1^2
K:バネ係数 x:最大変形量
に変換されると考える(E0=E1)とxを求めることができます。
これより
F1 = K*x1 = √(2E0/K)
で、衝突時の力を計算できます。(正しくは、これに重力による力 m*g を加えないといけませんが)

ダンパには、粘性ダンパーと摩擦性ダンパーがありますが、
(粘性ダンパーの場合は、F=v*cで計算できますが、エネルギー計算したことがないのでパスして・・・たぶんexp関数になりそうです)
摩擦ダンパー単独の場合は
F2 = 摩擦力(一定)
なので
E2 = F2 * x2
で、変形を求めることができます。(E0=E2)

>さらにダンパを加えた場合、
ダンパを直列に加える場合と、並列に加える場合で話が違ってきますが、とりあえず並列と考えて
前の式で、x1=x2としてF1,F2をもとめ、F1+F2の最大値が衝突時の力になります。

単純に同じバネに摩擦ダンパを並列に加えた場合は、前の回答のように、ダンパを入れたほうが衝突の力は大きくなりますが、
じつは、同じ変形なら、バネより摩擦ダンパーのほうが力を小さくできますから、
同じ変形になるようにバネを弱くしてその分摩擦ダンパーにしたほうが、力を小さくできます。

また、(計算していませんが)粘性ダンパーは衝突の初めに力が大きく(速度が大きいと力が大きい)、後になるほど力が小さくなり、バネは、はじめに力が小さく(変形が大きいと力が大きい)、後になるほど大きくなりますから、この2つをうまく組み合わせると、やはり、同じ変形の場合の力を小さくできます。

また、ダンパーで吸収されたエネルギーは、熱に変換されて、運動のエネルギーでなくなりますから、その後の振動は大幅に減ります。

回答の前に

>バネを介すことで、接触時間が長くなり衝撃力が小さくなりますが、
この考え方は、あまり正しくありません。この場合、重要なのはバネによって変化する「時間」でなく「変形量」です。したがって
#バネを介すことで、接触時の変形が大きくなり衝撃力が小さくなりますが、
が正しい文です。

衝突時の力の計算方法は、バネ単独の場合は
最初の位置エネルギー
E0 = m*g*h
が、バネ変形によるポテンシャルエネルギー
E1 = 1/2 *K*x1^2
K:バネ係数 x:最大変形量
に変換されると考える(E0=E1)とxを求...続きを読む

Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
初期状態で,電荷Qがコンデンサに蓄えられています。
回路動作のイメージは出来ているのですが・・・。

どなたか,助けていただけませんか?
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

Qマクスウェル模型、フォークトモデルの問題

課題の提出日が迫っているのでお願いします。
ソフトマターの問題で、マクスウェル模型とフォークとモデルについてです

1.マクスウェル模型は、粘弾性流体に関するもっとも簡単なモデルの一つであり、粘性を表すダッシュポットと弾性的なばねを直列に並べたものであるばねの力学応答はフックの法則(弾性率E)で与えられ、ダッシュポットは粘性率ηのニュートン流体で記述できるとすると、マクスウェル模型は、
dε/dt=1/E・dσ/dt+σ/η
と表される。クリープ・コンプライアンス測定では応力は一定であるが、この時の変形の時間依存性を求めて図示せよ。さらに、応力緩和測定では変形が一定であるが、この時の応力の時間依存性も求めて図示せよ。ここで、緩和時間τ₀=η/Eを導入し、これは定数と仮定してよい。
2.フォークトモデルはバネとダッシュポトを並列につなげたものである。1の問題と同様に、クリープ・コンプライアンス測定における変形と応力緩和測定における応力を求めよ。

Aベストアンサー

歪ε、応力σ、バネの弾性率E、ダッシュポットの粘性ηとし、
それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力      σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η   (1)

Voigtモデル
合わせた応力σは σ=σf +σd 、歪εは ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt         (2)

Maxwellモデル
a) 応力一定σ=σo、クリープ現象。
(1)式は dε/dt =σo/η
これを積分すれば、Cを積分定数として。
ε(t)=(σo/η) t+ C
εo=ε(0) = C で、σf =Eεf からσo=Eεoとなり
εo = σo /E
ε(t)= σo/E +(σo/η)t

バネの瞬間伸び+ダッシュポットの時間に比例した直線的な伸びの和。

b) 歪一定ε=εo、応力緩和現象。
(1)式は dσ/dt = -σE/η
dσ/σ = -dt/τ      τ=η/E
これを積分すれば、Cを積分定数として。
lnσ=-τt+ C
σ(t) = C’*exp(-t/τ)
σo= σ(0) = C’ より
σ(t) = σo*exp(-t/τ)

最初σoの応力が指数的に減少し、t=τ(緩和時間)後にはσo*1/eまで
減少する。

Voigtモデル
a)応力一定σ=σo、クリープ現象。
(2)式は  σo = Eε+ηdε/dt
この微分方程式の解は、積分定数をCとして
ε(t) = exp(-t/τ)((σo/η)∫exp(t/τ)dt + C)
= σo/E + C*exp(-t/τ)
t=0で歪は0であるから
0 = σo/E + C   つまり   C = -σo/E
ε(t) = σo/E (1 - exp(-t/τ))

最初0の歪は徐々に増加し、σo/Eで頭打ちになる。
b)歪一定ε=εo
(2)式は dε/dt = 0  より
σ(t)= Eεo
となり、バネだけの場合と同じになる(形式的には)。
(実際には、瞬時に変形を与えることはできない。σd=ηdε/dt→∞となる。)

歪ε、応力σ、バネの弾性率E、ダッシュポットの粘性ηとし、
それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力      σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η   (1)

Voigtモデル
合わせた応力σは σ=σf +σd 、歪εは ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt         (2)

Maxwellモデル
a) 応力一定...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


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