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数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど

いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか?

【問題】
数列{An}は

A1=6
A(n+1)=2An-3n+1 (n=1,2,3…)

(1)Bn=An-3n-2(n=1,2,3…)で定められる数列{Bn}が等比数列であることを示せ

(2){An}の一般項をもとめよ


An=2^(n-1)+3n+2



となりますが



A(n+1)=2An-3n+1

のように
漸化式に『数列』と『n』が混在している時

この問題では

Bn=An-3n-2

として考える誘導がついていましたが

どうしてこのような数列を考えたのでしょうか?

これはたまたま上手くいくからなのでしょうか?

それとも何か理由があるのでしょうか?

A 回答 (3件)

>どうしてこのような数列を考えたのでしょうか?


>
>これはたまたま上手くいくからなのでしょうか?

ぶっちゃけた話「たまたま」だと思ってもかまいません.
この手のものは
誘導がつくか,帰納法で処理するのが現実的です.
たまたま思いつけば,直接処理すればいいのです.

しかし・・・それなりに計算はあります.
漸化式というか数列ってのは,
隣り合う項との違いが重要なので,
階差をとるのが自然です.
階差を差分ということもあります
#等比数列の場合は比をとりますが,対数を考えればこれも差です.
#比よりもまずは差を考えるほうが現実的です.

さて問題の数列
素直に階差をつくると,nが2以上だとかいう細かいことは後回しにして

a_{n+1} = 2 a_n - 3n + 1
a_{n} = 2 a_{n-1} - 3(n-1) + 1

引き算して

a_{n+1} - a_{n} = 2 (a_{n} - a_{n-1}) - 3
B_n = a_{n} - a_{n-1}とおけば
B_{n+1} = 2 B_{n-1} - 3

これなら簡単にとけます.
注意しなければならないのは,nの最初の値です.
階差数列の式には条件がついてますのでそれに注意.
進展がなければこの方針でいけばいいのですが・・・
これだとnの条件の処理が面倒です.
そこでこの新しい「階差数列の漸化式」がなぜ解けるのかと
ことを考えると・・・3nが消えていることが原因です.

だから,3nを消すことを考えます・・・・
となると
a_nの係数が2ですので
もともとの漸化式の両辺から 3n を引くといいのです

a_{n+1} -3n = 2a_{n} - 3n +1 -3n
a_{n+1} -3n = 2 (a_{n} - 3n) + 1

ここでよくみると
左辺が「3n」になってるのがうれしくないです.
3(n+1)であればいいですので,さらに3をひきましょう

a_{n+1} - 3n -3 = 2 (a_{n} - 3n) - 2
a_{n+1} -3(n+1) = 2 (a_{n} - 3n) - 2

これで C_n = a_{n} - 3n とおけば
C_{n+1} = 2 C_{n} - 2
ですから C_n の一般項がわかります
a = 2a - 2
a = 2
を考慮して
C_{n+1} - 2 = 2 (C_{n} - 2)
ですので
B_n = C_{n} -2
とおけば

B_{n+1} = 2 B_{n}

B_{n} = C_{n} -2
= a_{n} - 3n - 2

です.

こういう計算を背後で処理して
問題の誘導が表にでてきているのでしょう.

以上の仕組みを逆手にとれば

a_{n+1} = A a_{n} + Bn + C

というタイプの漸化式は同様に以下のようにとけます.

a_{n+1} - kB(n+1)
= Aa_{n} + Bn + C -kB(n+1)
= Aa_[n} -kABn + C -kB(n+1) + kABn
= A(a_[n} - kBn) + (kA - k + 1)Bn - kB + C

nの係数が0になるように k を決定すれば

B_n = a_{n} - kBn

とおくことで

B_{n+1} = A B_n + (定数)

の形の漸化式になって,これはふつうにとけます.

一般の
a_{n+1} = A a_{n} + f(n)
の形の場合は,当然 f(n) がどういうものかで変わってきますが,
いろいろ考えてみると面白いかもしれません.
f(n)がnの多項式くらいなら
解けるのかもしれません.
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この回答へのお礼

返事が遅れてすみません

わかりやすかったです。
ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/19 10:01

a[n+1] = a[n]・c + f(n) というタイプの漸化式の場合、


初項は無視して、何かひとつ
g(n+1) = g(n)・c + f(n) となる g( ) を見つければ、
辺々引き算して
a[n+1] - g(n+1) = { a[n] - g(n) }・c となります。
g( ) を探す時点で、a[1] = g(1) である必要はありません。
a[n] - g(n) が等比数列と判って
a[n] - g(n) = { a[1] - g(1) }・c^(n-1) と解けるので、
これに a[1] の値を代入すれば完了です。
このようなやりかたを、「特殊解を用いて非斉次漸化式を
斉次化する」と言います。
たまたまというか、ひらめきによって g( ) を発見しなくては
ならないので、いつでも使えるとは限りませんが、
g( ) を思いついたときには、便利に使うことができます。
質問の誘導は、g(n) = 3n+2 が使えるよ …と教えているのです。
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この回答へのお礼

返事が遅れてすみません

ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/19 10:01

A(n+1)=2An-3n+1



このような問題は、階差数列を求めて解くのが一般的です。

Bn=A(n+1)-An
と置けば、
B(n+1)=A(n+2)-A(n+1)
=2A(n+1)-3(n+1)+1-(2An-3n+1)
=2A(n+1)-2An-3
=2Bn-3

さらに、
Cn=B(n+1)-Bn
と置けば、
C(n+1)=B(n+2)-B(n+1)
=2B(n+1)-3-(2Bn-3)
=2B(n+1)-2Bn
=2Cn

これで等比数列になりました。

CnをAnで表すと、
Cn=B(n+1)-Bn
=A(n+2)-A(n+1)-A(n+1)+An
=2A(n+1)-3(n+1)+1-2A(n+1)+An
=An-3n-2

となって、質問の式が出てきます。
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この回答へのお礼

返事が遅れてすみません。

ありがとうございます

お礼日時:2011/12/19 10:02

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