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aを定数とし、xの2次関数y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)のグラフをGとする。

グラフGが表す放物線の頂点のx座標が-5以上-1以下の範囲にあるとする。

このとき、aの値の範囲は-5≦a≦-8…(ア)であり、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

したがって、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。


1.(ア)の答えはこれで合っていますか?

2.(イ)~(ス)の求め方がわかりません。
解説よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4={x-(a+3)}^2+a^2+2a-5・・・(2)ですから


頂点のx座標はx=(a+3)であり、-5≦a+3≦-1から-8≦a≦-4…(ア)
になります。
2次関数(1)は下に凸な二次曲線であり頂点のx座標=(a+3)が
-5以上-1以下の範囲にあるわけですから、2次関数(1)が-5≦x≦-1
の範囲で最大になるのは、頂点のx座標=(a+3)が-5寄りであればx=-1で
2次関数(1)は最大になり、頂点のx座標=(a+3)が-1寄りであればx=-5で
2次関数(1)は最大になります。
よって-5≦(a+3)≦-3の時M=2a^2+10a+11
-3≦(a+3)≦-1の時M=2a^2+18a+59となります。
書き直して-8≦a≦-6の時M=2a^2+10a+11、-6≦a≦-4の時M=2a^2+18a+59
なお、a=-6の時は2a^2+10a+11=2a^2+18a+59=23となります。
ということで、(イ)=-8、(ウ)=-6、(エ)=2、(オ)=10、(カ)=11、(キ)=-6、(ク)=-4、
(ケ)=2、(コ)=18、(サ)=59となります。
2次関数(1)の最小値は(2)式よりa^2+2a-5ですからa^2+2a-5=24として
a=-1±√30となりますが、-8≦a≦-4…(ア)からa=-1-√30に決まり、
-8≦a≦-6の範囲にあるのでa=-1-√30をM=2a^2+10a+11に代入して
M=63-6√30となります。よって(シ)=-1-√30、(ス)=63-6√30。
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この回答へのお礼

自分が何処を間違えていたのかよくわかりました。
解説が丁寧でとてもわかりやすかったです。
凄く助かりました。
いつもありがとうございますm(__)m

お礼日時:2011/12/18 01:50

aを定数とし、xの2次関数y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)のグラフをGとする。



グラフGが表す放物線の頂点のx座標が-5以上-1以下の範囲にあるとする。

このとき、aの値の範囲は-5≦a≦-8…(ア)であり、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

したがって、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。

>1.(ア)の答えはこれで合っていますか?

f(x)=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)とおくと
  ={x-2(a+3)+(a+3)^2}-(a+3)^2+2a^2+8a+4
  ={x-(a+3)}^2 -(a+3)^2+2a^2+8a+4
  ={x-(a+3)}^2+(a+1)^2-6

f(x)は、軸がx=a+3 の下に凸な放物線です。その-5以上-1以下の範囲について考えます。
  
軸がx=a+3なので、頂点のx座標が-5以上-1以下ということは、
-5≦a+3≦-1ということだから、-8≦a≦-4 です。

>2.(イ)~(ス)の求め方がわかりません。

1)
2次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

(1)の式から、-5以上-1以下の範囲ということから、次の式を求めておきます。-

f(-1)={(-1)-(a+3)}^2 -(a+3)^2+2a^2+8a+4
     =2a^2+10a+11
f(-5)={(-5)-(a+3)}^2 -(a+3)^2+2a^2+8a+4
     =2a^2+18a+59

最小値については、x=a+3のとき、最小値=(a+1)^2-6と分かっていますが、
最大値については、f(-1)かf(-5)のどちらかになりますが、
それはaの範囲によって決まります。

-5≦a+3≦-1なので、真ん中の値a+3=-3→a=-6について調べると、

f(-1)=2a^2+10a+11 a=-6を代入すると、f(-1)=23
f(-5)=2a^2+18a+59 同じく、f(-5)=23 
よって、a=-6のときは、どちらも最大値になります。(どちらかに決められない)

よって、-5≦a+3≦-3のとき、つまり
-8≦a≦-6のとき、最大値M=f(-1)=2a^2+10a+11 
-3≦a+3≦-1のとき、つまり、
-6≦a≦-4のとき、最大値M=f(-5)=2a^2+18a+59 

(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ) イ=-8、ウ=-6、エ=2、オ=10,か=11
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ) キ=-6、ク=-4、ケ=2,コ=18、サ=59

xの-5以上-1以下の範囲で軸の位置をいろいろ変えてグラフを書いてみれば分かります。

2)
2次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。

最小値=(a+1)^2-6=24として解くと、a+1=±ルート30 
a=-1-ルート30(-5≦a≦-1) 

25<30<36より、5<ルート30<6、-6<-ルート30<-5、-7<-1-ルート30<-6から、
このとき-7<a<-6だから、最大値は f(-1)=2a^2+10a+11 のほうで、、

この式にa=-1-ルート30を代入して計算すると、最大値M=63-6ルート30 

よって、シ=-1-ルート30、ス=63-6ルート30 

答えが違うとかなにかあったらお願いします。 
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この回答へのお礼

丁寧な解説の御蔭で自分が何処を間違えていたのかよくわかりました。
解答はすべて合っていました。解答しか載っていなかったのでとても助かりました。
いつもありがとうございますm(__)m

お礼日時:2011/12/18 01:55

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