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松坂さんの『集合位相論入門』からの質問です。
f:A→Bの写像
PはAの任意の部分集合として、a∈Pとなるf(a)の全てを集めた集合をf(P)と定義しています。
(p30)

ここで、a∈P ⇔ f(a)∈f(P)は成り立ちますか?

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A 回答 (5件)

 ANo.1で話は終わり、ANo.2でとどめまで刺してあるんで、あとちょっとのことだと思います。



ご質問は、

  任意のA, B, 任意のf( f:A→B), 任意のP(P⊂A)について:
  ∀a(a∈P ⇒ f(a)∈f(P) ) …(1)
  ∀a(f(a)∈f(P) ⇒ a∈P) …(2)

をお考えである。(1)はf(P)の定義から明らかだが、(2)はどうか。という話です。
 これは、No.1にある通りに考えればいいんです。


 Aに対するPの補集合をPcとします。f:A→Bなので、もちろん、x∈Pcならばf(x)∈Bである。
 そこで、あるa∈Pcとb∈Pが存在して
  f(a)=f(b)
になっているようなfを考えます。
 この fが(2)の反例であることは、以下のように確認できます:
 
 まず、b∈Pだから、(1)よりf(b)∈f(P)。
 そして、f(a)=f(b)だから、f(b)∈f(P)よりf(a)∈f(P) である。 (★)
 しかし、a∈Pcだから、a∈Pではない。

 つまり、
  ∃a(f(a)∈f(P) ∧ ¬(a∈P))
である。これは、(2)の否定です。

(おそらく、(★)の一行が、お分かりになるためのツボじゃないかと思います。)


 No.2にある具体例では、A, Bは実数全体の集合R、f:A→Bはf(x)=x^2 、Pは正の実数の集合(P⊂R)、aは-1 (a∈Pc)、bは1(b∈P)である。すると、f(a)=f(b)になっているから、上記の通り、これは反例になってますね。
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この回答へのお礼

とてもよくわかりました!ありがとうございます!!

お礼日時:2011/12/21 17:27

No.1です。


No.2の方が具体例を挙げていますが、一応。

f(a)∈f(P) ⇒ a∈P

これの仮定はあくまでf(a)∈f(P)であり、実はaについては特に問われていません。
そして結論は「f(a)∈f(P)のaがすべてPに属しないといけない」ということです。この「すべて」がポイントです。
この写像は単射とは限らないのでf(a)に写る要素も一つとは限りません。
そして、定義から少なくとも一つはPに属している要素になります。逆に言うと、それさえ満たせば、あとはPに属さない要素をf(a)に写しても構わないのです。
なので、この命題は成り立つとは限りません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。皆さんの協力のおかげで解決しました。
これからもご教示いただけると嬉しいです。

お礼日時:2011/12/21 17:32

f(x) として定数関数をもってくれば自明でしょう.

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。定数関数をが反例となっているんですね。解決しました!

お礼日時:2011/12/21 17:30

たとえば、



Pを正の実数全体
f(x)=x^2(xの2乗)
a=-1

のときを考えてみてください。
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この回答へのお礼

具体的な関数で考えるのですね。解決しました!

お礼日時:2011/12/21 17:28

a∈P ⇒ f(a)∈f(P)


は定義より明らか。

f(a)∈f(P) ⇒ a∈P
ですが、これは成り立つとは限りません。
反例も簡単です。
f(a)=f(b)となるような集合Pに含まれないb∈Aを持ってこればいいだけです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。反例がいまいちわからないです…。
f(a)=bとなるような集合Pに含まれないb∈Aを持ってきたとしたら
それはf(a)∈f(P)という仮定に反しませんか?

お礼日時:2011/12/19 21:27

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