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 この問題の解き方を教えてください。
 
 三角形ABCは、tanA=4/3, BC=6を満たすものとする。
  (2)三角形ABCの面積の最大値を求めよ。 
 
 (1)では、sinA, cosA, 三角形ABCの外接円の半径を求めて、それぞれ3/5, 4/5, 15/4になりました。ヒントだけでも教えてくださると助かります。よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

tanA=4/3からAの角度は決まります。


BCを三角形の底辺と考え、三角形の高さが一番大きくなるのはAB=ACの時ですね。
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この回答へのお礼

御礼が遅くなってすみません。回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/12/26 20:04

AB=α、AC=β α>0、β>0 とする。



三角形ABCの面積=(αβ)/2*sinA=(3/10)*(αβ)であるから、αβが最大になればよい。

相加平均・相乗平均 から α+β≧2√(αβ)→ αβ≦(α+β)^2/4 等号はα=βの時。
α=βの時、余弦定理から、36=α^2+β^2ー2αβ*cosA=α^2+β^2ー5/8*αβ → α=β=3√10.

これが分からなければ、次のようにしても良い。
余弦定理から、36=α^2+β^2ー2αβ*cosA=α^2+β^2ー5/8*αβ‥‥(1) これからαβの最大値を求める。
α+β=m、αβ=b とすると 実数条件より m^2-4n≧0であり 又 m>0、n>0 ‥‥(2)
(1)は 5m^2-18n=180. これを(2)に代入すると n≦90 これは m=6√10 だから α=β=3√10.
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この回答へのお礼

御礼が遅くなってすみません。回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/12/26 20:04

(1)がどんな問題で、なぜその答えが出たのか、できれば教えてもらえれば、と思います。


正確な問題の記述が知りたいです。

この回答への補足

質問の書き方が分かりにくくてすみませんでした。
(1)sinA, cosA, 三角形ABCの外接円の半径を求めよ。でした。値は、与えられた数値を元に、計算して求めました。

補足日時:2011/12/26 20:04
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円周角の定理を思い出して、底辺 BC に対する A の高さをナニしてみる。

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この回答へのお礼

御礼が遅くなってすみません。回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/12/26 19:30

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Q二等辺三角形の面積が最大化されるときの角度について

二等辺三角形の面積が最大化されるときの角度を求める問題についての質問です。

以下(1)~(5)のように考えると底辺が45度の時に最大化されるようですが何か大きな勘違いしているようですのでアドバイスいただけると助かります。

三角形ABCとしてAB=AC=x、角ABC=ACB=y(0=<y=<90度)の二等辺三角形を考え、xを固定してyが動くときこの面積の最大化を考えたいのですがこの際に、
(1)BCの中点Mをとり三角形ABMの面積の最大化を求めてもよいように思います。

ABMの面積Sを最大になるときのyの条件を考えると、
(2)ABMは直角三角形ですからAM=x*siny、BM=x*cosyより、S=1/2*x^2*siny*cosy 

(3)x>0より結局 sinyx*cosy の最大化を求めればよく、
(4)sinyx*cosy=1/2*sin2yより0=<y=<90度ではsin2y=1となるときが最大、

(5)つまり2y=90度、y=45度のときにSが最大となり、この際に三角形ABCも最大化になるような気がします。

Aベストアンサー

 三角関数?いらないでしょう。「三角形の面積は、底辺掛ける高さ割る2」という呪文だけあれば十分です。

 まず、ABが「底辺」だと思えばその長さはx。これは固定なので、「三角形の面積」は「高さ」に比例します。

 次に、「高さ」はどうやってもx以上にはならない。頂点CはAを中心とする半径xの円周上を動くからです。(No.3の図を見るとよくわかりますね。)
 じゃあ、「高さ」が最大値xになるのはどういう場合かというと、角BACが直角になるとき。つまり直角二等辺三角形になるとき。

 直角二等辺三角形なら、角yの大きさは45度です。

Q(1)円に内接する三角形の内面積最大となるものを求めよ。

(解答)
半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α+β+γ=2πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π-(α+β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
f'=cosα-sin(α+β)-cos(α+β)
 =cosα-{sin(α+β)+cos(α+β)}=0
cosα=sin(α+β)+cos(α+β)
=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ
したがってα=β
よって面積が最大となるのは、α=β=γのとき、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

上のように解いたのですが、説明は十分でしょうか?
助言をお願い致します。

(解答)
半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α+β+γ=2πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π-(α+β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定して...続きを読む

Aベストアンサー

>ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
>(中略)
>したがってα=β

図形的に考えると、角βを固定して、面積が最大になるのは点Aが丁度反対側にある場合だと思います。
なので結論がおかしそうですが、どうですか?

Q円に内接する三角形の面積の最大値を求める(偏微分)

 半径1の円に内接する三角形の面積の最大値を偏微分を利用して求める問題です。
 △ABCにおいて、点Aの座標をA(1,0)、点Oの座標をO(0,0)とし、また、∠AOB=α、、∠AOC=β (ただし、0<α<β<2π) とおき、B(cosα , sinα)、C(cosβ , sinβ)としました。
 △ABCの面積Sは、(途中の計算は省略させていただきます。以下も同じ)
  S={ sinα - sinβ + sin(β-α) }
となりました。ここで、Sをα、βで偏微分すると、
dS/dα = sin(β/2)*sin{(β-2α)/2}
dS/dβ = sin(α/2)*sin{(2β-α)/2}
d(dS/dα)/dα = -sin(β/2)*cos{(β-2α)/2}
d(dS/dα)/dβ = {sin(β-α)}/2
d(dS/dβ)/dβ = sin(α/2)*cos{(2β-α)/2}
となり、
dS/dα = 0
dS/dβ = 0
を満たすα、βを求めると、
    α = (2/3)π 、β = (4/3)π
となりました。
さらに、α = (2/3)π 、β = (4/3)π の時、
d(dS/dα)/dα = -(√3)/2
d(dS/dα)/dβ = (√3)/4
d(dS/dβ)/dβ = -(√3)/2
より、
    { d(dS/dα)/dβ }^2-{ d(dS/dα)/dα }*{ d(dS/dβ)/dβ } = -9/16 < 0
であるから、
    Sはα = (2/3)π 、β = (4/3)π の時に極大値となり、S = 3(√3)/4
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 半径1の円に内接する三角形の面積の最大値を偏微分を利用して求める問題です。
 △ABCにおいて、点Aの座標をA(1,0)、点Oの座標をO(0,0)とし、また、∠AOB=α、、∠AOC=β (ただし、0<α<β<2π) とおき、B(cosα , sinα)、C(cosβ , sinβ)としました。
 △ABCの面積Sは、(途中の計算は省略させていただきます。以下も同じ)
  S={ sinα - sinβ + sin(β-α) }
となりました。ここで、Sをα、βで偏微分すると、
dS/dα = sin(β/2)*sin{(β-2α)/2}
dS/dβ = sin(α/2)*sin{(2β-α)/2}
d(dS/...続きを読む

Aベストアンサー

>「α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える」ことで、なぜ極大値が最大値と分かるのか根拠を述べよ』

α = (2/3)π とした時、βを変化させるということはBを円周上で動かすことになります。面積が最大になるというのは点Cと直線ABとの距離が最大になるときであり、その位置を外すと面積は減少します。そのへんを説明すればよいでしょう。

Q四面体の体積を求める際の、高さの求め方。

四面体ABCDがある。 AB=BC=3 BD=1 AD=2√2 AC=2√5 CD=2√3 である時、四面体ABCDの体積Vを求めよ。

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教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。
AB^2=DA^2+DB^2
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したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
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つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。

Q半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。

半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。
説明が十分かどうか自身がもてません…orz


底辺を定めると高さが最大の時に面積が最大となるので、内接三角形の頂点は底辺の中心にあり、二等辺三角形になる。円の中心を内側に含む内接三角形を考える。

中心から底辺までの長さをx(0=<x<r)として、高さはx+rで表される。
さらに、中心から底辺の一端に補助線を引くと高さx、斜辺rの直角三角形ができる。
三平方からこの三角形の底辺は√(r^2-x^2)であり、これを2倍すると内接三角形の底辺=2√(r^2-x^2)となる。

∴S=(x+r)2√(r^2-x^2) , S>0…(1)

の極値について考える。s>0よりSが最大⇔S^2が最大なので、
s^2= f(x)について考察する。

f(x)=(x+r)^2 (r^2-x^2)=(x+r)^3(x-r)

f'(x)=3(r+x)^2-(x+r)^3=2(r+x^2)(r-2x)
∴実数の範囲ではx=r/2 の時、極値を取る。

f''(x)=4(r(x-1)-3x^2)
f''(r/2)=-r(r+4)<0 , (r>0) なので極大である。

以上よりx=r/2でS^2は最大値であり、又Sも最大値である。
(1)に代入して、S=(3√3/4)r^2である。

という感じで不備はないでしょうか?
宜しくご指導願います。

半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。
説明が十分かどうか自身がもてません…orz


底辺を定めると高さが最大の時に面積が最大となるので、内接三角形の頂点は底辺の中心にあり、二等辺三角形になる。円の中心を内側に含む内接三角形を考える。

中心から底辺までの長さをx(0=<x<r)として、高さはx+rで表される。
さらに、中心から底辺の一端に補助線を引くと高さx、斜辺rの直角三角形ができる。
三平方からこの三角形の底辺は√(r^2-x^2)であり、これを2倍すると内接三角形の底辺=2√(r^2-x^2)と...続きを読む

Aベストアンサー

No.1 に画像を付け忘れたので、挙げとく。
△ABC と △A'B'C の一方は、外接円の中心を含む
ということ。


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