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回転する台の上でコマを回すと、コマの歳差運動はどのようになるのでしょうか?

自分で試してみたのですが、はっきりと目で確認できないので困ってます。

おそらく遠心力で歳差運動の軸が外向きに傾くと思うのですが、この予想は合っているのでしょうか。

あと、この場合コリオリ力が無視出来るのかどうかについても教えてくださると助かります。

どうぞよろしくお願いします。

A 回答 (9件)

コリオリの力をもっと簡単に言うと、中心からAの距離にある物体が軸方向に近いB地点に移動したとき、その物体はAの地点に居たときと同じ角速度をもったまま移動したわけですから、あたかも回転方向に向かっても移動します。

たとえば上から見て左回転している円盤上では、その物体は進行方向に対して右側に力を受けます。逆にB地点からA地点に移動したときも同様に進行方向に対して右側の力を受けます。これがコリオリの力です。

 その物体がコマであり、かつ一定の位置で回転している場合、コマ上のある点が移動するとき常に常に右なり、左に力を受けていてそれはその対称となる点すべてにいえることですから、コリオリの力は打ち消されてしまう。と考えるほうが良いでしょう。計算しても同様になると思います。

 結果的にコマはそのままの姿勢で回転し続ける。

 いわゆるジャイロコンパスの原理で、ジャイロの回転軸を地球の自転軸に合わせておけば、常に北を指す。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。身近な物理現象でこれほど難しいものがあったとは驚きです。
何度も回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/01/12 03:12

 台に固定した座標系で見て、台が動いていないときと動いているときで物の運動に違いが生じたとき、その違いを「台が動いていない系に、さらにコリオリの力が加わったことによる作用」として説明する。

それが「コリオリの力」というものです。ということは、「コリオリ力が無視出来る」とは、「台が動いていてもいなくても何も変わらない」という意味に他なりません。でも、「変わる」とお考えなのだから、「コリオリ力が無視できない」のは明らかです。これは単に言葉の問題ですね。

 で、物理の問題。ややこしいことをなるべく省くために、「コマはジンバルで台に取り付けてあって、コマの重心は台上のある一点から動けないようになっている」としましょう。
 歳差運動ってのは、コマの軸の方向ベクトルa(|a|=1)は、外力の方向ベクトルf(|f|=1)を軸として、一定の角速度ωで回転する。内積を「・」、時間微分を「’」で表すことにすると
  a’’ = (ω^2)((a・f)f - a)
でいいかな?
 さて、外力Fそのものが重力のベクトルGを軸として回転している(Gと遠心力の合力がFなので)。台の角速度をθ、コマの重心と台の中心との距離をrとして、鉛直方向をz軸とする直交座標系を考えると、外力の加速度hは
  h(t) = (r(θ^2) cos(θt), r(θ^2) sin(θt), g)
である。その方向ベクトルは
  f(t) = h(t)/|h(t)|
なので、これを代入した
  a’’ = (ω^2)((a・h)h/(|h|^2) - a)
が軸の方向の運動方程式になるかと思います。解こうとする前に、とりあえず数値計算でいろいろ試してみることはできるでしょう。特にθ=ωの場合は共鳴の効果が生じ、歳差運動の振幅がどんどん変わるでしょう。また、ω/θが簡単な整数比でない場合にはaがカオス的な動きを見せるだろうと予想します。(だから解こうとしない訳ですが。)もしそうなら、実験が難しかった理由も分かるというわけです。ひとつ興味があるのは、台と一緒に回転する座標系から見てaが定常になるような自明でない(θ=0でない)解があるかどうか。
 
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>円盤から見ると、コマの重心は静止しているので、コリオリの力にはなりません。


間違えました、歳差運動により、重心は移動しているので、コリオリの力が発生しますね。わずかな力でしょうが。
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なんとも、難しい問題ですね。



説明の前に、ベクトルの合成は、回転力は、回転力どうしで考えないといけません。回転力と直線の力の合成はできません。

で、まず、コマが歳差運動する理由を説明したのが、左の図ですが、コマの重心には重力によって赤色の力がかかります。これは直線の力です。これに対して、コマの軸先端には地面からの反力である青色の力がかかります。これも直線の力です。この2つの力は偶力なので、茶色の回転力を発生させます。

次に、緑色で示したのが、コマの慣性による回転力です。これと先ほどの茶色の回転力を合成した紫色が最終的にコマにかかる回転力になります。(図は鉛直のように見えますが、そうではありません。)これによりコマの軸は灰色の矢印の方向に動きます。茶色の回転力は、歳差運動によりコマの傾く方向が変わると、それにつれて向きが変わりますが、軸の移動方向は、常にコマの傾いた方向に対して直角の方向になります。

で、これに回転する円盤からの力が加わると。。。
右の図は、最終結果の紫のベクトルだけを残したものです。
新たに加わるのは、コマの軸先端にかかる向心力(青色)とその反力(赤色 いわゆる遠心力です)で、この2つの偶力により、茶色の回転力が生じます。これは円盤の円周方向です
前回同様、これと紫色の回転力との合力を考えると、黄緑色の回転力になり、軸の移動方向は灰色で現した方向ですが、この方向は、紫と茶色の大きさの比によって、さまざまな方向になり、ちょっとどちら向きになるのか、見当がつきません。
じっくりベクトルの大きさを計算すれば分かるのでしょうが。。。

>あと、この場合コリオリ力が無視出来るのかどうかについても教えてくださると助かります。
コリオリの力は、まったく発生しないと思います
コリオリの力は、等速直線運動する物体を、回転系の人が見ると、まるで物体に力がかかっているかのように曲がって進むように見える。という仮想の力です。
この場合は、コマの重心点が、円盤に対して運動していれば、コリオリの力が発生するのでしょうが、円盤から見ると、コマの重心は静止しているので、コリオリの力にはなりません。
コマの周上の点は、円盤に対して運動していますが、問題になるのは、円盤の半径方向に移動する場合で、この向きに移動する周上の点はコリオリの力が発生しますが、同時に反対側は反対方向に移動するので、力はキャンセルするでしょう。
「回転する台の上でコマを回したとき」の回答画像6
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この回答へのお礼

ありがとうございました。こんなに難しい問題だとは思いもよりませんでした。

お礼日時:2012/01/12 03:09

>円盤から働く力は円盤中心を向いた向心力であると思います.



 そうですね。コマを回転する円盤に置いた瞬間はともかく、定速で回転している場合は、中心に向かうベクトルになります。
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ANo.3 に


>コマが一番手前側に位置するとき、このコマの足に、横向き(左方向)に力が加わるのですから

とありますが,コマは全体として等速円運動しているのですから,円盤から働く力は円盤中心を向いた向心力であると思います.
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 右回転している円盤の上に、右回転しているコマがあるとして、こまの回転方向はベクトルで表すと、下向きですね。


 コマが一番手前側に位置するとき、このコマの足に、横向き(左方向)に力が加わるのですから、新しい回転方向ベクトルは、円盤の中心方向に向いたものになります。
 二つのベクトルを加えるとコマは、手前に傾くことになると思います。
 それもコリオリの力ですが?
「回転する台の上でコマを回したとき」の回答画像3
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逆に内向きに傾くのではないでしょうか.


というのは,遠心力がかかる場合には,重力+遠心力が有効重力のように働いて,歳差運動の軸はその有効重力の方向に平行になると思うからです.
ただし,たんなる直感による推測ですので,間違っているかもしれません.
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観測できるかどうかは、どの程度の速度で回転するかにも拠ります



回転速度が速く回転の中心からずれていれば こまは遠心力で振り出されてしまいます
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