広義二重積分、三重積分

次の広義積分を求めよ。

（１）∬D 1 / ( x^2 + y^2 )^(α/2) dxdy
D: x^2 + y^2 <= 1 ( 0 < α < 2 )

（２）∫∬v (√x^2+y^2+z^2) / ( 1 + x^2 + y^2 + z^2 )^3 dxdydz
V:x >= 0, y >= 0, z >= 0

（１）の問題で、答えに範囲を 1/n^2 <= x^2 + y^2 <= 1 とすると書いてありましたが理由がわかりません。
何故1/n^2になるのですか？
（２）の問題も範囲がわからず解くことができません。

いまいち広義積分というのを理解できていないので
どなたかわかりやすく説明して欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： Eiji57 回答日時： 2003/12/04 21:48

(1)の積分範囲Ｄは、x^2 + y^2 <= 1、つまり半径１の円の内部ですが、

問題を見ると x^2 + y^2 が分母にあります。分母が０になると、（言い方が悪いですが）都合が悪いので、
原点(0,0)を除いた部分を積分範囲にしているのだと思います。
1/n^2になっているのは、x^2、y^2に合わせて２乗に、さらにnを限りなく大きく（無限大）にもっていくと、
範囲が 0<= x^2 + y^2 <= 1となり求めたい積分の範囲と一致します。
このように、積分範囲の上限か下限をまず文字に置き換えて積分して、
その後、極限をとるのが広義積分ではないかとおもいます。

(2)の範囲は、V:x >= 0, y >= 0, z >= 0 と書かれてあるので、
xは0から無限大、yも0から無限大、zも0から無限大ではないでしょうか。

長文、失礼しました。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
ｎが二乗になっているのは合わせているからなのですね。
ふむ。

（２）で範囲が x^2 + y^2 + z^2 <= n^2　となっているのですが、これはどうしてなのでしょうか・・・？
ｘ、ｙ、ｚが無限大にいくから、それの上限をｎとして、ｘ、ｙ、ｚが二乗だからｎも二乗にしてるんですよね？
では、どうして足しているんでしょうか？？
（ｘ、ｙ、ｚを）
うーん・・・よくわからないです・・・；；

お礼日時：2003/12/04 23:16

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2003/12/04 23:31

> ｎが二乗になっているのは合わせているからなのですね。

> では、どうして足しているんでしょうか？？

どちらも、このあと「極座標変換」してませんか？

この回答へのお礼

あ～なるほど＾＾
極座標変換のためだったのか。。。

どうもありがとうございます＾＾

お礼日時：2003/12/06 22:49