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隣接4項間漸化式の行列を用いた解法

x(n+3)-2x(n+2)-x(n+1)+2x(n)=0
※ここでの括弧内の項はxの下付文字を表しています。

そしてまず,x0=3,x1=2,x2=6という初期条件が与えられています。


(1)ベクトルX(n+1)=TX(n)を満たす行列Tを求めよ。

ただし、ベクトルX(n)=( x(n) )
               (x(n+1))
               (x(n+2))    とする。

(2)T固有ベクトルを求めよ。ただし、各固有ベクトルは、第1成分を1とするものを求めよ。

(3)ベクトルX0=(3)
           (2)
           (6)
を問(2)で求めたTの固有ベクトルの線形和の形で表せ。

(4)問(3)の結果を用いてx11を求めよ。ただし、求めるx11の値だけ示すのではなく、回答の過程も示すこと。


という問題です。
私は問(3)まで解けて問(4)はわかりません。ご回答お願いします!

ちなみに、

固有値は1、-1、2

T= (0 1 0)
   (0 0 1)
   (-2 1 2)


X0= (1)    (1)   (1)
   (1) +   (-1) + (2)
   (1)    (1)    (4)

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A 回答 (3件)

まず, 問(1) で定義したベクトル X(n) は x(n), x(n+1), x(n+2) を縦に並べたものです. 問(4) で求められているのは x(11) ですから, 例えば X(9) を計算すれば x(11) はわかるはずです (ついでに x(9), x(10) も求まりますが). これはいいでしょうか?



次に, このベクトル X(n) は (問(1) から)
X(n+1) = T X(n)
という漸化式を満たします. これは「等比数列」と同じような漸化式ですから, 一般項 X(n) を等比数列と全く同様に求めることができます. これで, X(0) を使って X(9) を求めることができます.

そして, 一般に x を A の固有ベクトル, λ を対応する固有値とすると
A^n x = λ^n x
となります (確かめてみてください). 問(3) で「X(0) を固有ベクトルの線形和の形で表した」のはこの関係式を使いたいからです.

ん, あんまりうまく説明できないなぁ. 重要な部分は一応書いたつもりだけど, やってみて不明なところがあったらまた書いてください.

この回答への補足

x11の値を書き間違えました...
x11=2048です!

補足日時:2012/01/06 12:55
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この回答へのお礼

とてもわかりやすくご解説いただきありがとうございます!
ご教示の方法でやってみるとx11=1024という結果が得られました。

>そして, 一般に x を A の固有ベクトル, λ を対応する固有値とすると
A^n x = λ^n x

この公式には名前や証明とかありますか?覚えておきたいと思うので、もしあれば
ぜひお教えください!

お礼日時:2012/01/06 12:48

「x が A の固有値 λ に対する固有ベクトル」なら


Ax = λx
です. つまり帰納法で
A^n x = A^(n-1) Ax = A^(n-1) λx = λ [A^(n-1)x]
= ... = λ^n x
とできる, というだけなので「名前」を付けるほどでもないですし証明もほぼこれだけです.
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この回答へのお礼

Ax = λxは固有値の定義ですか...それはわからなかったのです!(>_<)
もっと基礎的な部分を磨かないといけないですね。
はい、わかりました!ありがとうございました!

お礼日時:2012/01/07 13:39

「問(4)はわかりません」というのは, より具体的にはどこがどう「わからない」のですか? 例えば, 問(3) の X0 がどこから

出てきたものかはわかりますか?
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この回答へのお礼

問(4)はどうやってやれば全然わからないのです。
問(3)のX0は問(1)の定義に従って(x0,x1,x2)=(3,2,6)です。
最後に書いたX0は固有ベクトルでの線形和の表示です。

お礼日時:2012/01/05 16:22

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