等価原理における慣性力と重力の向きの違いについて

相対論初心者なので、とんちんかんなこと質問してたらすみません。

アインシュタインの等価原理では「慣性力と重力は本質的に同じ」とあります。
アインシュタインの発想としては、慣性力のポテンシャル関数が計量テンソルで表されることから、重力ポテンシャルも計量テンソルで表されるだろう、と考えた、とあります。

慣性力と重力が本質的に同じ性質を持つことに関してはいいとして、
私が気になっているのは、慣性力と重力の「向き」の違いです。

自由落下する観測者にとって、慣性力と重力は大きさは等しく、向きは逆向きです。
計量で表すと、両者は空間反転対称性
すなわち４行４列の対角行列で、対角成分が　（1、-1、-1、-1）
の関係にあるのではないか？と考えてしまいましたが、これは間違いでしょうか？

もし間違いなら、慣性力と重力の向きに違いを計量ではどうやって表すのか？
ご教授願いますm(*-_-*)m

No.4 回答者： shiara 回答日時： 2012/01/07 23:13

慣性力と重力のポテンシャルを別々に考えるのではなく、両方あわせて計量テンソルで表わされます。

自由落下する座標系では具体的にどのような計量テンソルになるのかは計算していませんが、重力が作る計量テンソルを、自由落下する座標系に座標変換すれば得られます。この計量テンソルは座標の関数で、自由落下する座標系の原点で、対角成分のみゼロでない　（1,-1,-1,-1）となります（原点が自由落下の中心とします）。また、原点では計量テンソルの座標微分はゼロとなります。このため、原点では無重力となります。原点から離れると計量テンソル及びその微分の値はゼロでなくなりますが、これによって生じる力が潮汐力となって現れます。

No.3 回答者： FMnew7 回答日時： 2012/01/07 00:52

自由落下する観測者から見ると、地球は上向きに加速度Gで上昇中です。

したがって、下向きの慣性力が生じており、これがちょうど、地球の引力、といっているものと等しいわけです。
つまり、慣性力と引力の向きは同じになります。

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/06 23:23

　#1です。

お礼、ありがとうございます。

　済みません、お礼でご説明頂いた内容は理解したつもりです。もしまだ勘違いしているようなら、「ええい、使えない奴だな」とお見捨てくださいますよう、あらかじめお詫びして、お願い申し上げます。

　申し上げたいことは、慣性力と重力が釣り合う、つまり自由落下であり測地線の運動ですが、それを曲がったリーマン空間の中に取れる、局所ローレンツ系、つまり局所的に平坦なミンコフスキー時空（仰る通りの対角成分）で、接続係数Γが0のミンコフスキー時空での計量η（添え字省略、以下同様）が使えるということです。

　そこがリーマン幾何学による一般相対論の出発点で、局所ローレンツ系から外れるときにミンコフスキー計量ηを計量gで表す、つまりηからずれて行くことを導いていくというのが、リーマン幾何学の一般相対論への展開のはずです。

　ですので、既にリーマン幾何学をご存じで、一般相対論の出発点であり曲がった時空への手がかりの第一歩である局所的に平坦な系に、何らかの前提が必要と思われたのだろうと推測しました。

　そこで、そこから一般相対論が始まりますという意味で、いろいろ表現のある等価原理の中でも、一般相対論の出発点をダイレクトに表現している等価原理をご紹介したつもりでした。

　言葉を変えますと、曲がった時空に入っても、共変微分による局所の張り合わせであることはご存じと思いますが、それを記述して行くための第一歩となる、まず着手できる局所系が必要です。、
　それが曲がった時空でも平坦として記述できる唯一の系である「局所的な自由落下」です。そして、それは即ち「慣性力＝重力」となる系ですということを意図しておりました。

　つまり、どうも出発点から理論展開して行って得られるものを、出発点にフィードバックしようとされておられるように思えるのです。

　もしかすると、曲率テンソルが0と、空間が平坦なことが、互いに必要十分条件であるといったことでしょうか。それですと、たとえばディラックの教科書「一般相対性理論」では、計量の対角成分を気にせず、証明している章があります。

No.1 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/06 12:21

　局所的としてよい観測者Ａが重力源の観測者Ｂからみて自由落下しているなら、Ａ視点で無重量状態＝無重力状態が成り立ち、やはりＡ視点で、その微小距離の周囲の空間は平坦です。

　つまり、Ａはミンコフスキー時空でOKですよ。
　Ａ視点で、重力場にいるのはＢのほうです。

　これを等価原理で言えば「ある世界展の近傍では局所ローレンツ系が存在し、その座標系では無重力となり、特殊相対論が成り立つ」になります。要は、適当な座標変換、即ち自由落下で、局所的な無重力系＝特殊巣対論が厳密に成り立つ慣性系に移っているわけです。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。

申し訳ありません。わたしの文章、読みなおしてみても凄くわかりずらいですね（汗）
質問したいことが上手く伝わらなかったようです。

私が質問したかったことは、
「自由落下系において、重力は鉛直下向きなのに対して、慣性力は鉛直上向きです。等価原理は重力と慣性力は原理的に区別できないと言っていますが、重力と慣性力は逆向きなので、
重力の計量テンソルと慣性力の計量テンソルとは空間反転対称性（1、-1、-1、-1）の関係にあるのではないか？」
ということです。

わかりずらくて、もうしわけありません。

お礼日時：2012/01/06 21:34