ネットが遅くてイライラしてない!?

f(x)のフーリエ変換F(x)は

F(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx

で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。

a>0として、 f(x)={0 (x>0 )
           {-exp(ax) (x<=0)

という問題があります。

私は

F(x)=(iω-a)^(-1)[exp(a-iω)x](-∞→0)までやりました。

ここで、ちょっとわからないところがあります。

exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。
でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。

普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら
ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて...

問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。

ご指導お願いします!

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A 回答 (2件)

指数法則により


exp{(a-iω)x}=exp(ax)*exp(-iωx)
となります。

ωxが実数の時、|exp(-iωx)|=1 となります。ですので
0<|exp{(a-iω)x}|=|exp(ax)|*|exp(-iωx)|=exp(ax)*1=exp(ax)
となります。
x→-∞とするとexp(ax)→0 (a>0の場合) となりますのではさみうちの定理により
|exp{(a-iω)x}|→0 となります。
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この回答へのお礼

とてもわかりやすいのでよくわかりました!
ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2012/01/06 15:18

僕は専門でないので表現がおかしいかもしれませんが,



exp((a-iω)x)=exp(ax)・exp(iωx) で

exp(iωx)=cos(ωx)+isin(ωx) より,|exp(iωx)|=1

絶対値をとってから極限をとれば exp(ax)の極限と同じく0では,
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2012/01/06 15:16

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Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Qフーリエ変換について

こんなこと聞くのは失礼なんですが、
f(t)=exp(-at^2) (a>0)がフーリエ変換できません。
どのように置くと求めることができるのかおしえてください。答えはわかっているのですがとき方がわかりませんどうかアドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

exp(-az^2)は正則だからコーシの積分定理により
∫(z:左回り)exp(-az^2)dz=0
であるから
∫(t:-∞→∞)exp(-a(z-jc)^2)dx
はcがどんな実数であっても同じであり√(π/a)。
後は簡単。
x(t)=exp(-at^2)のフーリエ変換をX(f)とすると
X(f)=
∫(-∞~∞)x(t)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞~∞)exp(-at^2)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞~∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)exp(-(πf)^2/a)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞~∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞~∞)exp(-at^2)dt=
√(π/a)exp(-(πf)^2/a)

書き間違いは多いので考え方だけ信じるように。

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qcos(wt)のフーリエ変換について

g(t)=cos(wt)
をフーリエ変換したいのですが、
F[{exp(jwt)+exp(-jwt)}/2]
=F[exp(jwt)]/2+F[exp(-jwt)]/2

まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
(A)からF(f)=δ(f)なので
 ∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
 左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
 この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
 左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Qガウス関数のフーリエ変換 証明

ガウス関数のフーリエ変換の証明を解きたいのですが、
ググっても、詳細個所を省いて説明がなされているため、
最後の解まで至りません。。
数学の知識が足りないのは、至らないところですが
急ぎのため回答願います。

画像工学の分野にて、
フーリエ変換の式は下記を使いたいです。

F(ω)=∫exp^(-ax^2)exp(-2πiωx)dx

この式を最後以下のように変形したいのです。

F(ω)=√π/√a * exp(-ω/4a)

どなたか詳細お願いいたします。

Aベストアンサー

(11g12)のωはxの間違い。従って(11g12)の正しい式は
d(e^(-ax^2)/dx = (-2ax)e^(-ax^2)

(11g13)は
(j/2a)d(e^(-ax^2))/dx = (-jx)e^(-ax^2)
となります。

(11g13)と(11g14)の間の式を
∫e^(-ax^2) *(-jx)e^(-jωx)dx = ∫(-jx)e^(-ax^2)*e^(-jωx)dx
として
(-jx)e^(-ax^2)とe^(-jωx)のそれぞれに部分積分を行います。

その時に(-jx)e^(-ax^2)の積分が(11g13),(j/2a)*e^(-ax^2),
である事が活かされて来ます。

その結果として(11g15)の常微分方程式が導かれます。


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