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(1)z=4-x^2-y^2とxy平面で囲まれた立体の体積
(2)球x^2+y^2+z^2<=9と円柱x^2+y^2<=9の共通部分の体積
(3)円柱x^2+y^2<=a^2(a>0)のxy平面の上方、平面z=xの下方にある部分の体積
(4)球x^2+y^2+z^2<=4を平面x=1で切り取ったとき、x>=1の部分の体積

重積分で立体の体積を求める方法がさっぱりわかりません。
特に領域Dは2関数を等式で結んで求める方法を習ったのですが、
上記のような問題でどう使用したらいいのか見当もつきません。
出来れば○○のような問題はこう解くというパターンとその見極め方まで
ご教授いただけると助かります。
傾向別に指南してくだされば答えはお教えいただかなくても構いません。

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A 回答 (3件)

#1です。



A#1の補足の質問について

>(2)の円柱はx^2+y^2<=4でした。

そうなら、共通部分の体積は、形状がz軸について回転対称なので
回転体の体積公式を使えば、xy座標平面について対称である事から
V=2{π∫[0,√5] 4dz+π∫[√5,3] (9-z^2)dz}
=2π{4√5+[9z-(1/3)z^3] [√5,3]}
=2π{4√5+9(3-√5)-(1/3)(27-5√5)}
=4(27-5√5)π/3
と求まる。

重積分で計算するなら
V=2∬[D} √(9-x^2-y^2)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=4}
x=rcos(t),y=rsin(t),(0<=r<=2,0<=t<=2π)と変数変換すると
 D'={(r,θ)|0<=r<=2,0<=t<=2π}
 √(9-x^2-y^2)dxdy=√(9-r^2) rdrdt
V=2∬[D'] r√(9-r^2)drdt
=2∫[0,2π] dt*∫[0,2] r√(9-r^2)dr
=4π[-(1/3)(9-r^2)^(3/2)] [0,2]
=4(27-5√5)π/3
と上と同じVの値が得られます。

>あと、お手数ですが(4)のような球面を平面で切り取る問題は
V=π∫[1,2] (y^2+z^2)dx, y^2+z^2=4-x^2
とありますが切り取る平面の変数で、その他の変数を微分するのが
セオリーなのでしょうか?

微分してませんが、何か勘違いしてませんか?
他の変数は、積分変数に置き換えます。

>また領域はどのように求めたのでしょうか?
y=0(xz座標平面)の断面図を描いて考えればわかりませんか?

(4)は重積分を使って
 V =∬[D] {√(4-y^2-z^2)-1}dydz, D={(y,z)|y^2+z^2<=3}
y=rcos(t),z=rsin(t)とおけば
 D'={(r,t)|0<=r<=√3,0<=t<=2π}
 V =∬[D'] (√(4-r^2)-1) rdrdt
  =∫[0,2π] dt*∫[0,√3] r((4-r^2)^(1/2)-1)dr
  =2π[-(1/3)(4-r^2)^(3/2)-(1/2)r^2] [0,√3]
  =5π/3
と計算もできます。
A#1の(4)と同じVの値となっています。

体積の積分計算の方法は1通りと限りません。どの方法でもいいので、1つの方法で確実に体積Vの計算ができるようにしておくことが大切です。
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セオリーは、易しい問題は(見分けるのが大変というのは置いといて)


問題文の中にあるものです。x=1とか平面で切れば、その軸の積分とかを勘ぐります
難しい問題は、易しい問題の方法の後にいろいろ試すので、セオリーとかないのが普通です
難しい問題に対処するのに重要なのは易しい問題の方法を確実に速く確かめることです
(でも本当は大体3次元くらいなので、式の図形(重なり)を頭で描けたら、セオリーとか関係なく解るものですけど)
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(1)


V=∬[D] (4-x^2-y^2)dxdy,積分領域D={(x,y)|x^2+y^2≦4}
x=rcos(t),y=rsin(t)で変数変換
 D'={(r,t)|0≦r≦2,0≦t≦2π}
 (4-x^2-y^2)dxdy=(4-r^2)rdrdt
V=∬[D'] (4-r2) rdrdt
=∫[0,2π] dt*∫[0,2] (4r-r^3)dr
=2π[2r^2 -(1/4)r^4] [0,2]
=2π(8-4)=8π

(2)
球x^2+y^2+z^2<=9 が円柱x^2+y^2<=9 に包含されるので
共通部分は球x^2+y^2+z^2<=9全体。
なので球の体積は積分するまでもなく、半径r=3の球の体積
 V=(4/3)π*2^3=32π/3

(3)
円柱x^2+y^2<=a^2(a>0)のxy平面の上方、平面z=xの下方にある部分の体積
V=∬[D] xdxdy,積分領域D={(x,y)|0<=z<=x,x^2+y^2≦a^2}
x=rcos(t),y=rsin(t)で変数変換
 D'={(r,t)|0≦r≦a,-π/2≦t≦π/2}
xdxdy=rcos(t)*rdrdt=(r^2)cos(t)drdt
V=∬[D'] (r^2)cos(t)drdt
=∫[-π/2,π/2] cos(t)dt*∫[0,a] (r^2)dr
=2{[sin(t)] [0,π/2]}*{[(1/3)r^3] [0,a]}
=2(a^3)/3=(2/3)a^3

(4)
球x^2+y^2+z^2<=4を平面x=1で切り取ったとき、x>=1の部分の体積
V=π∫[1,2] (y^2+z^2)dx, y^2+z^2=4-x^2
=π∫[1,2] (4-x^2)dx
=π[4x-(1/3)x^3] [1,2]
=π{4-(1/3)(8-1)}
=5π/3

この回答への補足

(2)の円柱はx^2+y^2<=4でした。
すいません。
あと、お手数ですが(4)のような球面を平面で切り取る問題は
V=π∫[1,2] (y^2+z^2)dx, y^2+z^2=4-x^2
とありますが切り取る平面の変数で、その他の変数を微分するのが
セオリーなのでしょうか?また領域はどのように求めたのでしょうか?
ご回答お願いします。

補足日時:2012/01/14 20:45
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