下の問題で解答の中の
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる
この下りの理由が解らないのですが、どなたか解説おねがいできませんでしょうか
●問題
x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2
関数f(x,y)について、x,yの範囲をx≧0,y≧0に制限したときの
最小値を求めよ。また、このときのx,yの値を求めよ。
●答え
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1)
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる
等号はy=0かつx+2y-3=0、つまりy=0かつx=3のとき同時に成り立つ
よって、(1)の最小値は4^2-27=-11
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
●問題
x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2
関数f(x,y)について、x,yの範囲をx≧0,y≧0に制限したときの
最小値を求めよ。また、このときのx,yの値を求めよ。
●答え
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1)
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる
等号はy=0かつx+2y-3=0、つまりy=0かつx=3のとき同時に成り立つ
>よって、(1)の最小値は4^2-27=-11
x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2 から、平方完成によって、
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1) のようになります。
(x+2y-3)^2≧0については、2乗した式は負にならないから成立。
(y+4)^2≧4^2については、
y≧0だからy+4≧4が成り立ち、y+4>0、4>0で、
両辺が正だから、2乗しても不等式は成り立つ。
もし(y+4)^2≧0とすると、等号成立を考えたとき、y=-4となってしまい、
y≧0の条件をみたさなくなるから、また、等号成立でy=0となるのは、
y+4=4のときだから、上のような不等式にしているのだと思います。
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