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お世話になります。
微分方程式の自然現象のモデル化の方法がわかりませんので教えてください。

分からないのは、
・時間に対して一定の加速度が与えられる運動を表す微分方程式
・その時の人口に比例して増加してゆく人口を求める微分方程式

この2つです。
お手数おかけしますが、よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

「いくら考えても分からない」と言われてもねぇ....



これではあなたが「何をどう考え, どこで困っているか」など読み取りようがないでしょ?

例えば, 「時間に対して一定の割合で増加していくバクテリアの数を求める微分方程式」に対してこともなげに
バクテリア数 x(t)
dx/dt = k (一定)
と書いていますが, これはいったい何をどう考えた結果として導き出したものなのですか?

もちろん「どこかにこう書いてあった」などという答えは期待していませんよ.
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バクテリア数 x(t)


dx/dt = k (一定)

が理解できるなら、2番目は簡単ではないの?
人口p(t)とすると
dp/dt = kp (その時の人口に比例して)kは比例定数です。

このモデルでは指数関数的に人口は増えていきますね。 
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「方程式」というのは, だいたい「いろんなものに名前 (変数) を与え, それらを使って『1つのこと』を複数の方法で表す」ことで得

られます.

この回答への補足

いくら考えても分からないので質問させて頂きました。
時間に対して一定の割合で増加していくバクテリアの数を求める微分方程式なら、

バクテリア数 x(t)
dx/dt = k (一定)

といった具合に簡単にかけますが、質問させていただいた2問はさっぱり分かりません。
よろしくお願いします。

補足日時:2012/01/26 13:48
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「数理モデル」とは,ある現象を数学を使って表現したものなので,
ご質問の御意図とは外れると思いますので,ここでは「数学」解釈して回答致します.

因みに,数理モデルの例.
・高速道路の渋滞状況は,弾性波としてモデル化することがある.
・パイロットがあっ!と思って非常回避行動を起こすときの反応の遅れを,
 制御工学では「1次遅れ」として扱うことがある.
・ある外回りの営業マンが効率良く取引先を回る問題は「巡回セールスマン問題」としてモデル化される.
などなど.

複素数は,電気のみならず,力学でも多用します.
車のサスペンションなどの振動現象(バネ・ダンパ系等)は,複素数を導入するととても解きやすくなります.
(単振動は円運動の実部のみが見えていると解釈するような感じ.)
また,制御(古典制御)にも使います.実部が0に集束するとき,
簡単に言えば,安定な制御が可能,とか.
流体力学でも複素平面上で流れを表現します.
このように複素数は,導入するととても計算が楽になる魔法のような数学です.

行列も方程式をえいやと解いたり,連立微分方程式の性質を探るときにも
強力な武器になります.
この連立微分方程式で表現される制御装置を使って機械は本当に上手く
制御できるのか?と言うとき,微分積分や行列の性質を駆使して判断します.
安定解析,現代制御,など.

意外なところでは,ベクトルの内積を高校で習いますが,
あれは実は「実ヒルベルト空間」の定義であり,大変重要です.
普通我々が使う「距離」もそうです.
空間論は,制御工学などの重要な工学では非常に重要な概念です.

まぁ一言で言ってしまえば,高校で習う数学や物理ほど,
工学の分野で使いまくるものはありません.基礎ですものね.
ロケットを飛ばす,人工衛星を組み立てる,軌道上で制御する,などなどやってますが,
高校の教科書やチャート式は常に傍らにおいてあります.
しかし幾何学なんてあまり使わないかなぁと思っていたのですが,
でも力学を図形的に解いたりするときには結構使うことになります.

高校で習うことは全て,理系で生きて行くならば,人生の中で最低1回は使うと思います.

「数理モデル」とは,ある現象を数学を使って表現したものなので,
ご質問の御意図とは外れると思いますので,ここでは「数学」解釈して回答致します.

因みに,数理モデルの例.
・高速道路の渋滞状況は,弾性波としてモデル化することがある.
・パイロットがあっ!と思って非常回避行動を起こすときの反応の遅れを,
 制御工学では「1次遅れ」として扱うことがある.
・ある外回りの営業マンが効率良く取引先を回る問題は「巡回セールスマン問題」としてモデル化される.
などなど.

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>解析的に解くと言えば、一般解や厳密解を求めることでしょうか。
YES

>FEMのような数値解析は、解析的に解くとは言わないんでしょうか。
NO.数値的解法です。

>FEMによる方法をnumerical analytical methodと書こうと思ってますが、方程式の一般解を導いた方法は英語で何と書けばよいのでしょうか。
Analytical or exact method/solution

>analytical method と書いたら、numerical analytical methodのことも含みますか?
no.numerical analytical methodとはいいません。analyticalとは解析解で,FEM等の数値解法を含みません。

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・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
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補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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#1への「補足」に対して

ごめんなさい。π/4 が正解です。

I = ∫F・dS = ∫∇・F dV
∇・F = ∂(x z)/∂x + ∂(x y z^2)/∂y + ∂(y z)/∂z
   = z + x z^2 + y
I = ∫∫∫(z + x z^2 + y) dx dy dz
x z^2 と y はそれぞれ x と y について奇関数なので、いまの場合、それらの積分は 0。

z を円柱座標で積分すると、
I =∫∫∫ z dx dy dz
 = ∫∫∫ z r dr dθ dz
 = ∫(∫(∫dθ) r dr) z dz
 = ∫(∫(θ[0→2π]) r dr) z dz
 = ∫(∫2πr dr) z dz
 = π∫([r^2][0→z]) z dz
 = π∫z^2 z dz
 = π∫z^3 dz
 = π[z^4 / 4][0→1]
 = π/4。

あるいは
I =∫∫∫ z dx dy dz
= ∫z (∫∫dx dy) dz
= ∫z (πz^2) dz
= π∫z^3 dz
= π[z^4 / 4][0→1]
= π/4。

#1への「補足」に対して

ごめんなさい。π/4 が正解です。

I = ∫F・dS = ∫∇・F dV
∇・F = ∂(x z)/∂x + ∂(x y z^2)/∂y + ∂(y z)/∂z
   = z + x z^2 + y
I = ∫∫∫(z + x z^2 + y) dx dy dz
x z^2 と y はそれぞれ x と y について奇関数なので、いまの場合、それらの積分は 0。

z を円柱座標で積分すると、
I =∫∫∫ z dx dy dz
 = ∫∫∫ z r dr dθ dz
 = ∫(∫(∫dθ) r dr) z dz
 = ∫(∫(θ[0→2π]) r dr) z dz
 = ∫(∫2πr dr) z dz
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Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
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誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
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=(1/2)tan^-1(x^2) +C


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