公差が正整数の等差数列があり、そのある項は0で、
初項から第35項までの和は665である。この数列の公差を求めよ。

という問題がありましたが、難しすぎて解けませんでした。
どうかお助けください。よろしくお願いいたします。

A 回答 (8件)

公差をd、初項をA1、第n項をAn、n項までの和をSnというように表すと



An = A1 + (n -1)d---(1)
Sn = n(A1 + An)/2---(2)

今、第35項までの和が665なので(2)式に代入して

35・(A1 + A35)/2 = 665

これを整理すると、

A1 + 17d = 19 ---(3)

ここでこの数列はある項が0となることが分かっており、
公差が整数であることも分かっているのですべての項は
公差dの整数倍となる筈である。よってA1はある整数mを用いて

A1 = md

と表せる筈。 これを(3)に代入して整理すると

d = 19/(m + 17) ---(4)

条件よりdは正の整数であるから上式の分母は19の約数でなければならない。
よって

m + 17 = 1 or 19

19の場合はm=2、d=1となり初項 A1 = 2 となってしまい、0 の項を含む
という条件に合致しない。ゆえに

m = -16
d = 19

初項:A1 = md = -304 となります。
後は128yenさんが検算されているようなので・・・。
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この回答へのお礼

大変ためになりました、ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2001/05/07 23:29

ある項が0⇔初項が公差の倍数なので


公差=d
初項 a0=kd(k<0)
とします。

Σ(i=1,35)ai=35(kd+kd+34d)/2=665
(k+17)d=19

k+17とdは19の約数。しかしk<0,d>0なので

d=19
k=-16

だと思います。
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この回答へのお礼

簡潔でわかりやすいご説明、ありがとうございました。
「ある項が0⇔初項が公差の倍数」と言う手を思いつきませんでした。

お礼日時:2001/05/07 23:28

rei00 です。

先の私の回答,ひどいミスしてますね。

>ある項が0となるには,a(1) = 0 でなければいけない。
 こんな事は言えませんね。この部分無視して下さい。よければ,参考 URL だけ使って下さい。
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やはりなんかおかしいみたいです。

無視しちゃってください。
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これはあくまでも僕なりのあがき方なので、役に立たないかもしれません。


an =a1 +(n-1)d
ですね。で、
Sn =0.5n{2a1 +(n-1)d}
ですから、
S35=0.5×35(2a1 +34d)=665と。
595d+35a1=665
これは全部35で割れるんですね。
19d+a1 =17
おや、これってan の式に近いな、と。
nが20の時はan =17なのかと納得できるのですね。
それと、ある項は0というヒントを使ってませんでしたね。
ある項が0になるためには、17を何項か前後で0にするわけですから、
d=正整数より、dは1か17かってことになりますね。
だって、17は素数だから。
(ここから仮定の段階ね)
d=1だったら、n=3の時にan =0ということね?
そうすると、an =0=a1 +2、ってことだからa1 =-2。
19d+a1 =17にあてはめると成立はするのね。
で、d=17だったらだけど、n=19の時にan=0でしょう?
これ、カンでもわかるんだけど、a1 からa18まで、負になるわけだから、35項まで足しても、多分というか絶対正にはならないし、ましてや665なんてならないことがわかるのですね。

はい、そういうことで、僕は公差1と出してみましたが、どうでしょう。合ってますか? 数列はひさしぶりなので、なんとも。
誰か後の人、この理屈に穴があったら言ってくださいね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。とても参考になりました。

お礼日時:2001/05/07 23:35

初項をa1


項差をd(正整数) 
等差数列の第n項をan とすると
an=a1+(n-1)*d

「初項から第35項までの和は665である」より
Σ{k=0,35}(a1+(k-1)*d)=665
 :
a1+17*d=19---(1)

「等差数列(があり、そ)のある項は0で」より
a1+(n-1)*d=0---(2)

(2)-(1)として、a1を消去する. nとdの整数式とすると次が出る.
(18-n)*d=19---(3)

「公差(d)が正整数」および「項数(n)も正整数」という条件を
(3)に適用すると、(3)を満たす、n、dは次しかない.(このような論理展開をさせるのが割と珍しいと感じられたのかなと思いました)

n=17, d=19

項差は19.
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この回答へのお礼

迅速なご回答本当にありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/05/07 23:33

初項A1、公差d、第n項をAnとすると An=d(n-1)+A1。

。。(1)式

またA1からAnまでの和Snは、 Sn=(A1+An)*n/2。。。(2)式

まず初項から35項までの和が665であるから、S35=(A1+An)*35/2=665
これより A1+A35=38。。。(3)式

(1)式よりA35=34d+A1だから、これに(3)式を代入して A1=19-7d。。。(4)式

(4)式を(1)式に代入して、An=(n-18)d+19。。。(5)式

次にある項がゼロであることから(5)式=0とおいて
d=-19/(n-18)。。。(6)式
dは正の整数(自然数)であり、nも正の整数(自然数)であるから
これよりn=17、d=19であることが決定します。
(n-18)は19の倍数でないとdは正の整数にならないから。

以下では、35項までの和が665になるか確認。。。

17項がゼロであることが決定したから、(1)式に
n=17,d=19代入して A1=-304が決定。
(1)式に、n=35、d=19とA1=-304を代入してA35=342.
よって(2)式に代入して、S35=(-304+342)*35/2=665

公差d=19であっているみたいです。

もしかしてもうちょっと簡単な回答があるかもしれませんね。
(高校の数学ははるか昔にやったもので。。。)
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この回答へのお礼

とても迅速なご回答をありがとうございました。m(_ _)m
おかげ様で助かりました。

お礼日時:2001/05/07 23:30

今公差を b とすると,公差が正整数の等差数列であるから,



  a(n) - a(n-1) = b > 0

となる。

したがって,a(n) > a(n-1) であるから,ある項が0となるには,a(1) = 0 でなければいけない。


後は,等差数列の一般項の式や和の公式を使えば答えが出ると思います。

参考 URL (等差数列)の「等差数列の定義」や「等差数列の和」のペ-ジを参考にして頑張って下さい。

参考URL:http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/ …
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。リンク参考になりました。

お礼日時:2001/05/07 23:32

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そうそう!そういった感じです。
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={(√2-1)(√2+1)(√2+1)^(n-1)-(√2-1)}/√2
={(√2+1)^(n-1)-√2+1)}/√2
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