【先着1,000名様!】1,000円分をプレゼント!

外半径b、内半径aの一様な球殻(質量はM)があります。球殻の中心Oを通る固定軸の回りの慣性モーメントIを求めて欲しいです。回答お願いします

A 回答 (1件)

重さMの球の慣性モーメントは、円盤の慣性モーメントを


積分するだけなので簡単にもとまります。

I=(1/2)ρπ∫[-a~a](a^2-x^2)dx = (8/15)ρπa^5 (aは半径)
ρ=3m/(4πa^3) だから (m 球の重さ、a半径, ρ密度)

I=(2/5)ma^2

この公式を使って、大きな球の慣性モーメントから
内側の球の慣性モーメントを引けば良いです。

ここまでわかれば後は簡単なので、先はお任せします。

それでは
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2 を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2
を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

慣性モーメントは、「全体の質量:M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。
この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
 ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)   ①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積です。
 dV = 4パイr^2 dr   ②

これと、①の密度を使えば、この「薄い球殻」の質量は
 dm = ρ*dV = 4パイρr^2 dr   ③
となります。

この球殻の慣性モーメントが、問題で与えられた式になります。与えられた式の「M」(球殻の質量)が、③の「dm」に相当するわけです。当然、与えられた式の「R」が③の「r」に相当します。

従って、球殻の慣性モーメント dI は
 dI = (2/3)dm*r^2 = (8/3)パイρr^4 dr
と書けることになります。

球全体では、これを r : 0~L (L:球の半径)に積分すればよく
 I = ∫[0→L]dI = (8/3)パイρ∫[0→L]r^4 dr
  = (8/3)パイρ[r^5 /5][0→L]
  = (8/15)パイρL^5

これを、①を使って「球の質量」で表せば
 ρ = 3M/(4パイL^3)
ですから
 I = (2/5)ML^2

慣性モーメントは、「全体の質量:M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。
この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
 ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)   ①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積...続きを読む

Q球の慣性モーメント

 球のモーメントを求める時、球の中の薄い円板を考え、それを積分していくと思います。
この時
2∫r^2dm
にr^2をそのままにしてdmを薄い円板質量を入れて求めると教科書の答えが違ってくるのは何故でしょう?
教科書は
円板の慣性モーメントdI=r^2/2×dm
を考え、2∫(円板の慣性モーメント)
と入れて求めています。
 慣性モーメントの公式は ∫r^2dm
なのではじめの方法も間違っていない気がするのですが、2番目の方が正しいのですよね?
 はじめの方法は何が行けないのでしょうか?
 もし分かる方がいらっしゃったら教えてください。

Aベストアンサー

この場合のrとはなんでしょう?
z軸からの距離でなければなりません。
z軸の周りの慣性モーメントを求めたい(球の対称性によりどこを軸にとっても同じ)わけですから。
だから、I=ΣΔmr^2=∫r^2ρdV
=∫∫∫r^2ρdxdydz=∫∫∫ρ(x^2+y^2)dxdydz=Iz
として計算すべきものです。

もし、I=2∫r^2dmとして計算するとどうなるでしょう?これは、2倍しているのは左右で二つあるからだと思います。∫r^2dmのdmを、例えばx軸上の距離rの位置にある、x軸に垂直な薄い円板の質量としてしまうと、その薄い円板上の質点の
部分部分によって、z軸からの距離は変わってきますよね。それなのに、円板を構成する全ての質点がz軸から距離rにある、としてしまっているのがr^2dmという式にほかなりません。つまり、z軸から距離rにあるのは
円板を構成する質点のなかではx軸上の一点だけで、
そのほかの円板上の質点はz軸からの距離がrより大きいのです。
だから、r^2dmのdmに微小円板の質量を入れてはいけないのです。

dI=r^2/2×dmを使う場合は、z軸の周りの円板の微小慣性モーメントは既に計算されているから、それをdmについて加え合わせる分には問題ありません。

参考までに,Iz=∫ρ(x^2+y^2)dV
Iy=∫ρ(x^2+z^2)dV,Ix=∫ρ(y^2+z^2)dV
Ix=Iy=Izより、
Iz=(Ix+Iy+Iz)/3=∫2/3ρr^2dV(このrは球の半径方向)
=∫(2/3)ρr^2(4πr^2dr)=2/5Ma^2 (a=球の半径)

この場合のrとはなんでしょう?
z軸からの距離でなければなりません。
z軸の周りの慣性モーメントを求めたい(球の対称性によりどこを軸にとっても同じ)わけですから。
だから、I=ΣΔmr^2=∫r^2ρdV
=∫∫∫r^2ρdxdydz=∫∫∫ρ(x^2+y^2)dxdydz=Iz
として計算すべきものです。

もし、I=2∫r^2dmとして計算するとどうなるでしょう?これは、2倍しているのは左右で二つあるからだと思います。∫r^2dmのdmを、例えばx軸上の距離rの位置にある、x軸に垂直な薄い円板の質量としてしまうと、その薄い円板上の質点の
部分部...続きを読む

Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球(質量M、半径R)の1つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径rよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は1よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は1/2よりも小さくなります。2/5<1/2ですね。3/5とか4/5が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式 力=質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント=慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力=質量×加速度 の両辺に回転半径rをかけたあと
加速度=半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
(rの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。)

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が...続きを読む

Q質問 大学 物理 円錐の慣性モーメントの求め方

回転軸が、頂点Oを通る底面と平行なときの
円錐の慣性モーメントの求め方の解説をお願いします。
ベルを鳴らすときに横に振るときのイメージの。。。

平行軸の定理I=IG+Ma^2を使って求めると思うのですが。。。
円錐の切り口の円板の慣性モーメントから求めるやり方?で求めています。

例えば質量M[kg]、半径r[m]、高さh[m]の円錐
重心までの距離は回転軸から(3/4)hの高さは求めました。
円板の慣性モーメント(1/4)Ma^2の出し方も少しわからない部分があるので
これも教えてもらえたら。

Aベストアンサー

初めに、円板の慣性モーメントを求める。

次に、円板の慣性モーメントを利用して、円錐の慣性モーメントを求める。

円錐を、底面に平行で、厚さdxの円板群に細分化する。
1つの円板の中心が座標xであるとすると、その円板の、z軸の周りの慣性モーメントは、平行軸の定理を使って
dI=((1/4)dmr^2)+dmx^2
ここでdmは円板の質量で
dm=ρπr^2dx
また、円錐の高さをh、底面の半径をRとすると
円板の半径は
r=R・(x/h)
なので
dI=dm{r^2/4+x^2}
=ρπ(R/h)^2・x^4・{(R/h)^2/4+1}dx

I=ρπ(R/h)^2・{(R/h)^2/4+1}∫[0..h]x^4dx
M=ρ・πR^2・h/3
より
I=(3/20)M・(R^2+4h^2)

Q質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。 回答には円環はすべての部分が中

質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

Aベストアンサー

No.1です。「求め方」も書いておきます。

>∫a^2dmということでしょうか?

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
 dm = [m/(2パイa)]dL   ①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
 dL = a*dθ
なので、①は
 dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
 dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
 I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
  = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
  = ma^2
です。

Q慣性モーメントについて

高さL、外径b、内径aの一様な中空の円柱
(半径rの穴の開いた半径bの円柱の中に、半径aの同じ高さの円柱がある。つまりr=b-a)
の中心軸zのまわりの慣性モーメントIzを求めたいのですが。

普通の円柱の場合は、I=∫∫∫_ⅴ R^2ρdxdydz 
(ⅴ:積分範囲 R:回転軸からの距離 ρdxdydz:微笑部分の質量? ρは体積密度)

で慣性モーメントを求めることができますが、中空の円柱の場合、どのように積分範囲やRを求めてよいのかが分かりません。

図がうまく説明できませんが、どなたか回答・アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

ご質問の内容からしますと,中空でない場合は理解されているんですよね.
じゃ,ρが違うだけですね.
中空部分はρがゼロと思えばOKです
(つまり,中空部分については積分しないのと同じこと).
普通の円柱なら回転軸からの距離に関して 0 から b まで積分ですが,
今の場合は結局 a から b まで積分することになります.

あるいは,全体の慣性モーメントは各部分のそれの和ですから,
半径 b の円柱の慣性モーメントから半径 a の円柱の慣性モーメントを引く手もあります.
もちろん,どちらの考えも同じことで,前半の定積分を求める際の引き算が
すぐ上の引き算に対応しています.

Q慣性モーメント

厚さを無視できる円筒や円環や球殻の慣性モーメントはどうやって計算すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

replay さんはすこし誤解されているようです.

慣性モーメントは,
(1)  (微小部分の質量)×(軸からの距離)
を加え合わせた(連続的に質量が分布しているなら積分した)ものです.
極座標系で表したときに,r は原点からの距離であって,
軸からの距離ではありません.
したがって
(2)  I = ∫ρr^2 r^2 sinθdrdθdφ
と書いてはいけません.

後半は,球と球殻とがごっちゃになっているようです.
球殻ならば r は a で一定のままです.
r についてゼロから a まで積分しちゃっちゃいけません.
(投稿しようとしたら,訂正が投稿されていました).
さらに密度についても,体積密度と面積密度を混同されています.
また,慣性モーメントの次元は (質量)×(長さ)^2 ですが,
最終結果ではそうなっていませんので,
結果が誤りであることは一目でわかります.

厚さを無視できる円筒や円環は,
軸の周りの慣性モーメントということなら簡単.
すべての質量が軸からの距離から a の場所にあります.
したがって,
(2)  I = Ma^2

球殻はちょっと面倒.

    A
    │
    C   B
    │  /
    │θ/
    │/
    O

図の様に極座標を取ります.AとBとは球の表面.
BC = a sinθ
θ~θ+dθ の部分の球殻面積は (a dθ)×(2πa sinθ) = 2πa^2 sinθ dθ
単位球殻面積あたりの質量は M/4πa^2.
したがって,
(3)  I = ∫{0~π} (M/4πa^2) (a sinθ)^2 (2πa^2 sinθ dθ)
     = (2/3)Ma^2
です.

> 内半径b外半径aとして厚さのある球殻の積分をして
> b→aの極限から計算すると
> I=2/3×Ma^2となりました。

もちろんこれでもOKですね.

replay さんはすこし誤解されているようです.

慣性モーメントは,
(1)  (微小部分の質量)×(軸からの距離)
を加え合わせた(連続的に質量が分布しているなら積分した)ものです.
極座標系で表したときに,r は原点からの距離であって,
軸からの距離ではありません.
したがって
(2)  I = ∫ρr^2 r^2 sinθdrdθdφ
と書いてはいけません.

後半は,球と球殻とがごっちゃになっているようです.
球殻ならば r は a で一定のままです.
r についてゼロから a まで積分しちゃっちゃいけません.
(投...続きを読む

Q中空球の慣性モーメント

外径20cm,内径15cm,質量4kgの中空球の球心を通る慣性モーメントを求めたいのですが、公式は使えてもなぜそうなるのかが理解できません。分かり難い質問ですみませんが、どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

#3、#4、#5の者です。
私なりに解明できましたので、以下に説明します。

まず、半径r(cm)、幅w(cm)、面密度ρ(kg/cm^2)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。

2πrρw・r^2=2πρw・r^3

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ
と書き換えることが出来ます。

この部分のリングの慣性モーメントは、
2πρw・r^3=2πρw・R^3・(cosθ)^3

さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。

その無限個の各リングの幅wは、
w→R・dθ
と置き換えることが出来るので、

中空球の慣性モーメント
=∫(-π/2→+π/2)2πρ・R^3・(cosθ)^3・R・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)(cosθ)^3・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)((cos3θ+3cosθ)/4)・dθ
=2πρ・R^4×4/3
=2/3・πρ・R^4

以上で、無限に薄い中空球の慣性モーメントが求まった。
あとは、これを厚さ方向(R)で積分すれば、球の慣性モーメントになる。

I=∫(0→R)2/3・πρ・R^4・dR
 =8/15・πρ・R^5
(球の慣性モーメントの公式のできあがり)

↑ここで、厚さ方向の積分を行なったので、ρは面密度でなく通常の密度に変更になっている。
(文字表記は、そのままにしました)

では、ここで、球の質量Mを用いて、ρを式から消去してみましょう。

球の体積は4/3・πR^3であるから、
密度ρは
ρ=M/(4/3・πR^3)である。

これを
I=8/15・πρ・R^5 に代入して、

I=8/15・πρ・R^5
 =8/15・π・R^5×M÷(4/3・πR^3)
 =2/5・MR^2

となり、#2さん、および、#5のリンクの公式と同じものが得られました。

あとは、計算だけですので、以降は#5の考え方でどうぞ。

#3、#4、#5の者です。
私なりに解明できましたので、以下に説明します。

まず、半径r(cm)、幅w(cm)、面密度ρ(kg/cm^2)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。

2πrρw・r^2=2πρw・r^3

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ
と書き換えることが出来ます。
...続きを読む

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング