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こんにちは。不等式の証明について質問させていただきます。

a^4 - b^4 < c^4 - d^4
かつ
0 < b < d < a < c

のもとで

a - b < c - d

を証明したいと考えています。
できそうでできず、困っています。

数学的に厳密であればどんな手を使っても良いので、証明できないでしょうか?

よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

No.2です。



c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
>を付け加えた場合は証明できないでしょうか。

例えば、b=1,d=2,a=3,c=4とすると、
>a^4 - b^4 < c^4 - d^4
>かつ
>0 < b < d < a < c
は満たしていますが、
c-a=4-3=1,a-d=3-2=1で不等式を満たしません。
d-b=2-1=1なので、不等式を満たしません。
やはり証明できません。
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反例をあげたら納得してもらえますか。



a=4, b=1, c=5, d=3 のとき、
4^4 - 1^4 < 5^4 - 3^4 (← a^4 - b^4 < c^4 - d^4)ですし、
0 < 1 < 3 < 4 < 5 (← 0 < b < d < a < c)ですが、
a - b < c - d のほうは
4-1 > 5-3 となるので成り立ちません。

この回答への補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
実際に判例を示していただき、納得できました。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。

補足日時:2012/02/05 02:29
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a^4 - b^4 < c^4 - d^4


かつ
0 < b < d < a < c

のもとで

>a - b < c - d

証明できないと思います。

>a - b < c - d
であるためには、a<cで、b>dでなければならないからです。

>a^4 - b^4 < c^4 - d^4
という条件を因数分解すると、
(a^2+b^2)(a+b)(a-b)<(c^2+d^2)(c+d)(c-d)
で、もう一つの条件から、
a^2+b^2<c^2+d^2
a+b<c+d は成り立ちます。(左辺>0右辺>0)
逆数を考えると、
1/(a^2+b^2)>1/(c^2+d^2),1/(a+b)>1/(c+d)
のように不等号の向きが変わってしまうので、
両辺掛け合わせて、
a-b<c-dを示そうとしてもできません。

この回答への補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
数式によって、非常にわかりやすかったです。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。

補足日時:2012/02/05 02:28
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ちょっと考えればわかりそうなものだが....



そもそも成り立たないものは証明できない.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。

お礼日時:2012/02/05 02:26

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