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正整数全体の集合をN、実数全体の集合をRで表す。写像f;N→Rにつき、実数の閉区間[3.14, 3.15]の要素で、像f(N)には属さないものが存在することを証明せよ。
 ※つまり、差集合[3.14, 3.15]\f(N)は空集合ではないことを証明せよ。

<答案〉
 カントールの対角線論法を

 f;N→R において、N∍n、R∍αnとする。
 
 自然数:対応する集合X要素
    α1 :3.a11a12a13a14a15a16・・・・
    
α2 :3.a21a22a23a24a25a26・・・・
    α3 :3.a31a32a33a34a35a36・・・・    
α4 :3.a41a42a43a44a45a46・・・・
           ・
           ・
  また、対角成分を以下のように置く。
  a11≠1(a1)、a22≠4(a2)、a33≠a3,・・
        かつ
  ai≠0,9(i≠1…n〉
 
  そこで、
  α=3.14a3a4・・・
 を考えると、このようなαは存在しない。
 (※ αがn番目に出た時、
  α=αn=3.14a3a4・・・an・・・
 において、an≠annより存在しない。)

 存在しないα<つまりf(N)>が存在してるので、示された。 (終)

 以上のやり方、答案はあってますでしょうか?また、解答をご教授願います。
 よろしくお願いします。
  

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A 回答 (3件)

文章がメタクタなので、解ってるのか、いないのか


判断に苦しむが…
対角線論法については、どうやら解って書いている
ようにも見えなくはない。

最大の難点は、αn の定義をきちんと書いてないこと。
f(N)∩[3.14,3.15]の濃度 ≦ Nの濃度 であることから、
f(N)∩[3.14,3.15] の元に自然数の添字を適当につけて
{ αn | (n∈N) } にすればよいのだが、そのことが
解ってて表現できていないのか、解ってないのか…

α を構成して見せる部分は、舌足らずな式だけで済ませず、
何を an と置いてどのように α を作ったのか
話が通じるように説明しておかないといけない。
たぶん、大筋は解っているんだろうから、日本語をちゃんと
書けば、ちゃんとした証明になるんじゃないかな?

また、(細事だが) f(N)∩[3.14,3.15] が有限集合になる場合
にも言及したほうがいい。
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いろいろおかしい. 気づいた点を順不同に指摘する.



・f はどこに行ったの?
・1行目からして日本語がおかしい. 「カントールの対角線論法を」の後は?
・「自然数:対応する集合X要素」って何を意味するの?
・そのあとの
α1 :3.a11a12a13a14a15a16・・・・
などはどう解釈すればいい? そして, このように表記できる根拠は?
・さらに「また、対角成分を以下のように置く」のところ, この時点で a11, a12 などがすべて決まっているのに対し a1, a2 などは全く定義されていないにもかかわらずなぜそのように置けるの?
・最後の「存在しないα<つまりf(N)>が存在してるので、示された」も変だな. 「何が」「いかなる理由で」示されたのか, くらいちゃんと書こうよ.

この回答への補足

誠に恐縮ですが、どのような解答がよろしいのでしょうか?自分でも作っていて、ものすごく不安で、何が正しいのかわかりませんでした。よろしくお願いします。

補足日時:2012/02/24 22:39
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考え方はいいんでしょうけど、解答としてはNGですね。



fはNからRへの任意の写像で、
f(1)=α1=3.a11a12a13・・・・
としているが、なぜ 3と限定できるのか。
もしかしたら、f(1)=4.a11a12a13・・・・かもしれないし、f(1)=100.a11a12a13・・・・かもしれない。

もう1つ
a11≠1(a1)、a22≠4(a2)
としているが、なぜ a11≠1と言えるのか。
a11=1、a22=4だったらどうする?
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