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全ての実数x、yに対してx^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0が成り立つaの値の範囲を求める問題です
x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1≧0にxについて変形してから手が出せません
解説お願いします

A 回答 (6件)

x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1≧0をxについての2次不等式とみてしまう(yを定数だと思う。



xについて平方完成すれば、

(x+〇)^2+(yの式)≧0 となるでしょう。

(x+〇)^2≧0 ですから、(yの式)≧0が条件。

(yの式)≧0は最高次数に文字がかかっているので、1次式になってはいけない条件を忘れずに。

ひとまずこれで頑張ってみましょう。
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この回答へのお礼

わかりました
ということで
-ay^2+(3a-2)y+1≧0
がでてきました

ただ、この不等式からどうやれば解るのでしょうか

お礼日時:2012/02/25 14:00

>>f(0)のとき-1≦0で満たしませんか?



確かにそうですね。でもf(10)とかは??y>1/2 だったらf(y)≧0を満たしませんよね。

この問題は「全ての実数x、yに対して」とあるから、不適な実数yの値があってはいけないのです。
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この回答へのお礼

なるほど 全てに当てはまらないとダメなのですね
ありがとうございます!

お礼日時:2012/02/26 08:59

>>-ay^2+(3a-2)y+1≧0 がでてきました


あれ?僕のと違う。計算ミスしてない??

-a(a-2)y^2 + (a-2)y +1≧0では?

-かけて、
a(a-2)y^2 -(a-2)y -1≦0

f(y)=a(a-2)y^2 -(a-2)y -1とおく。(最高次数の係数の文字)=0は別扱いする。

(1)a=0のとき
f(y)=2y-1 これではすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

(2)a=2の時
f(y)=-1 これはすべての実数yでf(y)≦0を満たす。

(3)0<a<2のとき。
f(y)は上に凸の2次関数だからすべての実数yでf(y)≦0を満すには、(f(y)の頂点のy座標)≦0 であればいい。この範囲と0<a<2を合わせる。

(4)a<0またはa>2のとき。
f(y)は下に凸の2次関数だからすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

この回答への補足

補足質問なのですが

(1)a=0のとき
f(y)=2y-1 これではすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

で、f(0)のとき-1≦0で満たしませんか?

補足日時:2012/02/25 19:49
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この回答へのお礼

なるほど ありがとうございます

お礼日時:2012/02/25 16:16

-ay^2+(3a-2)y+1≧0 には、ならないでしょう?



x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1
= { x+y(1-a) }^2 - (1-a)^2y^2 + { y^2+(a-2)y+1 }
= { x+y(1-a) }^2 + { (2a-a^2)y^2+(a-2)y+1 }
だから、
(2a-a^2)y^2+(a-2)y+1≧0 を示すことになります。

これが任意の y で成り立つためには、まず
2a-a^2>0 でないといけませんよね。

その上で、再度 y について平方完成して、
定数項の正負を検討すればよいでしょう。
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この回答へのお礼

あれ…-2ay^2+ay-2y+1≧0でもないんですか…
頭が混乱してきたので少し休みます

お礼日時:2012/02/25 14:38

#2です。



>ay^2-3ay+2y-1≦0だと、グラフは上に凸ですね
はたしてそうでしょうか?
見た目は上に凸っぽいですが、aの値によって違ってきますよ。
#1さんが書かれている内容も、そのポイントに含まれてきます。

あと、左辺の ay^2-3ay+2y-1ですが、こうにはならないかと。
もう一度「平方完成したところ」と「押し込められなかったところ」を
注意して計算しなおしてみてください。
xyの項を押し込めるのが目的ですよ。
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この回答へのお礼

ay^2-3ay+2y-1という式が0以下ということはx軸と、その下に存在し、かつその方程式がx軸より上にこないのですから上に凸ではないのですか?

x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1
=x^2+2y(1-a)x+{y(1-a)}^2-{y(1-a)}^2+y^2+(a-2)y+1
={x+y(1-a)}^2-{y(1-a)}^2+y^2+(a-2)y+1
={x+y(1-a)}^2-(y-ay)^2+y^2+ay-2y+1
={x+y(1-a)}^2-y^2-2ay^2+y^2+ay-2y+1
={x+y(1-a)}^2-2ay^2+ay-2y+1≧0

{x+y(1-a)}^2≧0より

-2ay^2+ay-2y+1≧0でしたね…すみません

お礼日時:2012/02/25 14:33

こんにちわ。



この手の問題だと、2乗の数が 0以上になることを用いて
○^2+ (0以上の項)≧ 0

のような形に持ち込んでしまうことが多いですね。


いまの問題であれば、xyの項がちょっとやっかいなので
○^2に押し込めてしまうのがよいかと思います。

あとは、「押し込められなかった部分」が 0以上になる条件を考えていきます。
yの 2次不等式が出てきますが、それを考える上で aの値で場合分けが必要になります。
「上に凸か下に凸か」を考えてみてください。
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この回答へのお礼

-ay^2+3ay-2y+1≧0
つまり
ay^2-3ay+2y-1≦0だと、グラフは上に凸ですね
ここから場合分けとはどう言うことでしょうか?

お礼日時:2012/02/25 14:02

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