周期関数の証明問題

周期関数の証明の問題の解説の一部について不明な点があったのでその質問です。

（f(x)が周期関数であることの証明問題です）すべてのxにおいて|f(x)|<∞とし、周期１の周期関数h(x)との関係性を、h(x)=f(x+1)-f(x)と定義する。、すべての自然数kにおいてf(x+k)-f(x)=kh(x)が成り立ちますが、ここから教科書には,「-∞<f(x)<∞なのでこの式が成り立つのはh(x)が常に0であるときのみ。よってf(x+1)=f(x)となりf(x)は周期１の周期関数」と導いているのですが、なぜ０が導けるのでしょうか？

解説の一部だけ抜き出してるので、わかりにくかったらコメントください　すぐに補足します
（ちなみにh(x)が周期関数であるというのは別の部分ででてきます）

No.2 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2012/03/02 10:37

ならば、h(x)が0でない点があるのなら、f(x)が有界でなくなる事を

示せばよいです。実際　h(a)≠0とすれば 任意の自然数kに対して
f(a+k) = f(a) + kh(a)なのだから、任意の正の数Mに対して
k > (M + |f(a)|) / |h(a)|となるkを取れば
|f(a+k)| ≧ k|h(a)| - |f(a)| > Mとなって f(x)は有界でない。

No.1 回答者： tmpname 回答日時： 2012/03/02 10:21

まあ、

a)
まずh(x)との関係性を、h(x)=f(x+1)-f(x)と「定義する」
というのは意味不明です。fとhとにこのような関係性が「ある」という
のなら分かりますが。

b)
もう一つはそもそもx=aにおいてf(x)が定義されているのだったら
f(a)は何らかの（実数値か何か知りませんが）値を取るのだから、
|f(a)|<∞というのは当たり前の事で、「すべてのxにおいて|f(x)|<∞」
というのは何も言っていないのと同じ。

で、実数xを越えない最大の整数を[x], {x} = x - [x]とでも
するとき（例えば[-3.4] = -4, {-3.4} = 0.6）

f(x) = 0 ({x}< 1/2の時), [x] ({x}≧1/2の時）とでもすれば、
h(x) = 0 ({x} < 1/2の時）, 1({x}≧1/2の時）であって、
h(x)は周期1の周期関数ですが、別にh(x)は常に0でもなく、f(x)は
周期関数でもない。

なにか、実際には「f(x)は有界」とかそんなのではないですか？というか
元の問題を略さずに書いて、どこまで解けたのかを書いてもらった方が
多分いいです。

この回答へのお礼

そうです　有界です　というかboundedですね　なんか日本語訳が見つからなかったの<∞でいいのかなとおもったのですがだめでしたね。あとていぎじゃなくて「関係性がある」です。紛らわしくてごめんなさい

お礼日時：2012/03/02 10:24