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平面上に四点OABCがあり
↑OA+↑OB+↑OC=↑0、
OA=2 OB=3 OC=4 とする
↑ABの大きさは ?
また△OABの面積は?
過程もお願いします

gooドクター

A 回答 (3件)

ベクトルの計量問題は、内積の問題と見るとよいです。


任意のベクトル ↑x について、|↑x|^2 = ↑x・↑x
であることを思い出しましょう。

↑OA + ↑OB + ↑OC と
↑OA, ↑OB, ↑OC それぞれの内積を考えると、
|↑OA|^2 + ↑OA・↑OB + ↑OA・↑OC = 0,
↑OA・↑OB + |↑OB|^2 + ↑OB・↑OC = 0,
↑OA・↑OC + ↑OB・↑OC + |↑OC|^2 = 0 です。
連立一次方程式を解けば、↑OA・↑OB = 3/2 が
(ついでに、あと二つの内積の値も)判ります。

|↑AB|^2 = |↑OB - ↑OA|^2 = |↑OB|^2 - 2↑OA・↑OB + |↑OA|^2
から、AB = √10 も求まりますね。

△OABC の面積は、(1/2)|↑OA||↑OB|sin∠AOB ですから、
(△OABC)^2 = (1/4){ (|↑OA||↑OB|)^2 - (↑OA・↑OB)^2 }
で求めることができます。
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実際に図を描いてみるのがコツです。


OAとOBを適当にとって、↑OA+↑OB=ODとなる点Dをとります。
すると、↑OD+↑OC=0ですから、↑ODは↑OCの逆ベクトルです。
ここから、↑ODの長さは4ということがわかります。
これを使って、
|OD|^2=16=|OA|^2+|OB|^2+2|OA|・|OB|・cosθ(θ=∠AOB)
=4+9+2OA・OB・cosθ
これより、cosθ=1/2(θ=3/π)とでます。
ここから、余弦定理を使って
AB^2=OA^2+OB^2-2OA・OB・cosθ=10
よって、AB=√10です。
また、θ=3/πですから、3角形AOBの面積は、1/2・2・3・sin3/π=3√3/2
となります。
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ベクトル記号は省略します。


OA+OB=OD となるような点Dをとると、OD=-OCですからODの長さは4です。
ここで△ODBに余弦定理を用いるとcos∠OBDが出ます。

cos∠AOB=-cos∠OBD ですから、次に△OABに余弦定理を使うとABの長さが出ます。

cos∠AOBが判ればsin∠AOBも判るので、OA*OB*sin∠AOB/2で△OABの面積が出ます。
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