最大値と最小値を求める問題

実数x , yが不等式x^2+y^2≦1を満たすとき

(x+y+2)/(x-y+2) の最大値と最小値を求めよ。

という問題です。
どのように解いたら良いでしょうか？

=kなどと置いてみたのですが、その先が分かりません…。

よろしくお願い致します。

No.2 回答者： ketahazure 回答日時： 2012/03/20 01:10

まず、x＾2＋Y＾2≦1を満たすxとyは、

座標軸上の原点を中心とする半径1の円の内側の範囲内です。
x軸上の（1，0）（－1，0）を通り、y軸上の（0，1）（0，－1）を通ります。・・・(1)


（x＋y＋2）×（x－y＋2）の式を展開すると

x＾2＋4x＋4－y＾2となり、整理すると、

（X＋2）＾2－y＾2となります。・・・(2)

・この式の最大値ですが、
（x＋2）が最大になり、マイナスであるy＾2が最小であれば良いので、そのようなxとyの組み合わせは、(1)の条件から、（x，y）＝（1，0）となります。
これを(2)に代入し、最大値は9と求まります。


・最小値ですが、
（x＋2）が小さく、 y＾2が大きくなれば良いので、それを満たすxとyの組み合わせは、(1)の条件から、
（x，y）＝（0，1）または（0，－1）となります。
これを(2)に代入し、最小値は3となります。


間違っていたらすみません。なお、＝Kで解くやり方は分からないです。

No.1 回答者： entap 回答日時： 2012/03/20 00:41

領域の問題ですが、幾何的にはうまくとけそうになかったので、数III、数Cの知識を一部使って回答しています。

K=3,1です。

解法ですが、多分ベストではないと思いますが…

x^2+y^2≦1より、x=rcosθ,y=rsinθとおきます。1≧r≧0です。
(r(cosθ+sinθ)+2)/(r(cosθ-sinθ)+2)=f(θ)とおき、f'(θ)の増減表を求めます。
(√2sin(2θ+π/4)+1/2)/(sin(θ+π/4)+2)^2となるので、増減の正負に分母は関係ありません。
f'(θ)の極値はθ=1/2π,πです。グラフの形から、1/2πが極大、πが極小値になります。
元式にx=rcosθ,y=rsinθを代入して、
最大の時、k=3、最小の時、k=1。