No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ガンマ関数やベータ関数と言わず、特殊関数と言われるものは皆、ある特定の数学的状況を処理するために生まれた、というのが最初の動機付けです。
ガンマ関数は最も初等的には、整数で定義されていた階乗を、ある理由のもとに(ある特定の数学的状況を処理するために)、実数まで拡張したものです。最終的には複素数にまで拡張されますが、関連するガンマ関数の公式群、ワイヤシュトラウスやハンケルの積分表示,スターリングの近似式などはどれも、特定の数学的状況に動機があります。
ところがそういう風に色々な特殊関数を詳細に調べて行くと、例えばベータ関数とガンマ関数の関連がわかり、色々な特殊関数を、ある程度統一的に理解できないか?という話になって行きます。そこから特殊関数論が始まって、#2さんの仰るような方向にも話は発展するのだと思います。
ただ実用的には、「ガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準」は何か?と問われれば、ガンマ関数やベータ関数の動機付けとなった数学的状況と、与えられた数学的状況が似ているかどうかを、見抜ける目を持っているか、持っていなくても状況を調査(分析)した結果そうだったと言えるかどうかだと、言わざる得ません。この態度を、言葉を切り詰めて短く言うと、#1さんの、
>使ってみて使えたら、使える。
>それ以上でも以下でもない。
になると思えます。
No.2
- 回答日時:
積分をガンマ関数やベータ関数で表すことに成功すれば使えるのは確実。
しかし成功しなければ本当に表せないのか、それとも捜し方が足りないのか分かりません。ありとあらゆる変換を全て試してみるわけにもいきません。したがって積分がガンマ関数かベータ関数に帰着されるかを判定する方法、できれば変換を具体的に与える処方箋が欲しいと思うのは当然でしょう。積分が初等関数になるかどうかを判定する方法はあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86% …
西岡久美子「微分体の理論」
これは微分体のガロア理論になります。しかしガンマ関数やベータ関数は初等関数ではありません。現在のところ積分がガンマ関数やベータ関数で表されるかを確実に判定する方法はないと思います。ガンマ関数やベータ関数のほとんどの本は計算例の羅列で根底となる理論が欠如しているような印象はぬぐえません。そもそもベータ関数とは何かと言えばはFermat 曲線のH1(Cn) に
現れる周期積分となっているのだそうです。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群GQ の 進表現(とHodge 構造の対) を対応させることができます。この方向を進めていけば、積分が初等関数かをガロア理論で判定できたようにガンマ関数やベータ関数になるかも判定できるかもしれません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- Visual Basic(VBA) Excel vbaのプログラムでガンマ関数を実装する方法 3 2022/06/23 22:48
- 化学 原子番号が2減少するもの。 アルファ壊変 ベータ壊変 ガンマ壊変 どれか教えてほしいです。 1 2022/07/27 23:48
- 化学 原子番号が1増加するもの。 アルファ壊変 ベータ壊変 ガンマ壊変 どれか教えてほしいです。 1 2022/07/27 23:47
- 化学 体内被ばくでもっとも重要なのは? ①アルファ線 ②ベータ線 ③ガンマ線 2 2022/07/27 23:46
- 化学 原子番号は変化しないもの。 アルファ壊変 ベータ壊変 ガンマ壊変 どれか教えてほしいです 1 2022/07/27 23:49
- Excel(エクセル) ExcelのCOUNTIF関数について COUNTIF関数を使って1の目の累積回数を計算したいのです 3 2023/06/13 22:41
- 数学 数学「積分」 2つ,3つの関数から積分による面積計算 そもそも関数同士が交わっていなかった場合どんな 1 2023/03/24 23:53
- 数学 積分(面積計算) 計算する面積がX軸より下の場合マイナスをかけますが それはX軸とで囲まれている場合 3 2023/05/02 21:00
- 物理学 原子核のガンマ線レーザー 5 2022/06/25 10:01
- 呼吸器・消化器・循環器の病気 肝硬変に関しまして。私はアルコール依存症です。毎月採血をしています。先月、ガンマが1000を超えてい 3 2022/09/12 21:29
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
0の積分
-
積分の問題なのですが、途中か...
-
積分の問題でどの部分を置換す...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
積分の問題ですが、どこで間違...
-
高校の数学で積分できない関数
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
e^(ax)の微分と積分
-
exp(ikx)の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
楕円の円周をはかりたいのです...
おすすめ情報