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積分計算でガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準を教えてください。

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A 回答 (3件)

 ガンマ関数やベータ関数と言わず、特殊関数と言われるものは皆、ある特定の数学的状況を処理するために生まれた、というのが最初の動機付けです。



 ガンマ関数は最も初等的には、整数で定義されていた階乗を、ある理由のもとに(ある特定の数学的状況を処理するために)、実数まで拡張したものです。最終的には複素数にまで拡張されますが、関連するガンマ関数の公式群、ワイヤシュトラウスやハンケルの積分表示,スターリングの近似式などはどれも、特定の数学的状況に動機があります。

 ところがそういう風に色々な特殊関数を詳細に調べて行くと、例えばベータ関数とガンマ関数の関連がわかり、色々な特殊関数を、ある程度統一的に理解できないか?という話になって行きます。そこから特殊関数論が始まって、#2さんの仰るような方向にも話は発展するのだと思います。

 ただ実用的には、「ガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準」は何か?と問われれば、ガンマ関数やベータ関数の動機付けとなった数学的状況と、与えられた数学的状況が似ているかどうかを、見抜ける目を持っているか、持っていなくても状況を調査(分析)した結果そうだったと言えるかどうかだと、言わざる得ません。この態度を、言葉を切り詰めて短く言うと、#1さんの、

>使ってみて使えたら、使える。
>それ以上でも以下でもない。

になると思えます。
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2012/03/27 20:15

積分をガンマ関数やベータ関数で表すことに成功すれば使えるのは確実。

しかし成功しなければ本当に表せないのか、それとも捜し方が足りないのか分かりません。ありとあらゆる変換を全て試してみるわけにもいきません。したがって積分がガンマ関数かベータ関数に帰着されるかを判定する方法、できれば変換を具体的に与える処方箋が欲しいと思うのは当然でしょう。
積分が初等関数になるかどうかを判定する方法はあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86% …
西岡久美子「微分体の理論」

これは微分体のガロア理論になります。しかしガンマ関数やベータ関数は初等関数ではありません。現在のところ積分がガンマ関数やベータ関数で表されるかを確実に判定する方法はないと思います。ガンマ関数やベータ関数のほとんどの本は計算例の羅列で根底となる理論が欠如しているような印象はぬぐえません。そもそもベータ関数とは何かと言えばはFermat 曲線のH1(Cn) に
現れる周期積分となっているのだそうです。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群GQ の 進表現(とHodge 構造の対) を対応させることができます。この方向を進めていけば、積分が初等関数かをガロア理論で判定できたようにガンマ関数やベータ関数になるかも判定できるかもしれません。
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この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時:2012/03/27 20:15

何だ、その質問は?


使ってみて使えたら、使える。
それ以上でも以下でもない。
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2012/03/27 20:16

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QΓ関数でnに1/2を代入した場合

 Γ関数は、nが0ないし自然数の時に、n!と同値なことは理解できましたが、Γ関数は階乗を一般化したものという教科書の記載があったので、n=1/2の時を求めようと悪戦苦闘をしましたが、だめでした。数値が求まるのでしょうか?求まるなら、どのようにすればいいのでしょうか。

Aベストアンサー

tatsumi01 さんの言われるように,積分を実行すればよいわけですが,
質問者の peror さんの補足にありますように

> 自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、
> 同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、
> 値を決定できる式に辿り着けなかったんです。

となってしまいます(あれ,S=1/2 を代入?).
つまり,
(1)  Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx
で s=1/2 とおいたものの不定積分は初等関数では表されません.

しかし,今は 0 から∞までの定積分なので,
値を求める方法はいくつかあります.

【A】 (1)で x = t^2 とおく.
dx = 2t dt ですから,整理すれば
(2)  Γ(s) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) t^(2s-1) dt
です.
s=1/2 とおくと,ちょうど 2s-1=0 で t^(2s-1) = 1 ですから
(3)  Γ(1/2) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) dt
となります.
これは有名なガウス積分で √π になることはよく知られています.
このサイトでも繰り返し質問と回答があります.
結局
(4)  Γ(1/2) = √π

【B】 (1)で x = t^(1/s) とおく.
dx = (1/s) t^{(1/s)-1} dt ですから,整理すると
(5)  Γ(s) = (1/s) ∫{0→∞} e^{-t^(1/s)} dt
になります.
(5)で s=1/2 とおくと(3)と同じものになります.

s=1/2 としてしまうと【A】と【B】は同じ置換をしていることになりますが,
s を残しておくと(2)と(5)はΓ関数に対する相異なった積分表示になります.

【A】【B】ではΓ関数の一番基本的な定義の積分表示から直接求められる
方法を紹介しました.
他にも方法はあります.

【C】Γ関数の恒等式を使う方法
Γ関数の恒等式として
(6)  Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs)
が知られています.
(6)で s=1/2 とおくと,直ちに Γ(1/2) = √πが得られます.
でも,(6)を導くのは多少面倒です.

(4)がわかれば,
(7)  sΓ(s) = Γ(s+1)
を使って,奇数の n に対するΓ(n/2) の値は全部求められますね.

tatsumi01 さんの言われるように,積分を実行すればよいわけですが,
質問者の peror さんの補足にありますように

> 自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、
> 同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、
> 値を決定できる式に辿り着けなかったんです。

となってしまいます(あれ,S=1/2 を代入?).
つまり,
(1)  Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx
で s=1/2 とおいたものの不定積分は初等関数では表されません.

しかし,今は 0 から∞までの定積分なので,
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Qベータ関数の公式について

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

至極単純だと思うのですが。
右辺を書き下すと積分区間が同じなので、積分もまとめられます。
あとは、共通因数をくくりだせば・・・