数学の不等式について聞きたいことがあります。

nが自然数であるとき

n^2≦{√(n^2＋１)｝^2<(n＋1)^2となる。という文があったのですが、納得ができないところがあります

n^2≦{√(n^2＋１)｝^2←の部分に＝がつく理由がわかりません。どう考えてもつかないと思うのですが
すなわち上を直すと↓になりますよね？
n^2≦n^2＋１　これってありえるんですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/03/27 08:54

n^2≦{√(n^2＋１)｝^2

でまったくかまいません．
とくに，=だったら不具合があるような議論をするときだけ

n^2<{√(n^2＋１)｝^2

とすればいいだけです．

というのは，
n^2<{√(n^2＋１)｝^2
を証明しようと思えば
大小関係だけではなく，「=ではない」ということも証明しないといけないわけで
証明することが多いからです．

この程度の式なら「<」だろうが「≦」だろうが大差ないですけど
もっと複雑なものだったら
そして「=ではない」ことを証明するのが難しいものだったら，
さらに「<」であることが議論の本質ではなく「≦」で十分だったら？

ということで，「≦」ですむものならそれですませるのがよくある手です．
この手のものは数IIIで漸化式と極限の問題に頻出します．

ついでにいうと・・・・あなたの感覚だと
1 <= 1
とか
1 <= 2
という式は「だめ」なのかもしれませんが，
これらは両方とも正しい式です．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/26 22:51

A≦B というのは、(A＜B または A=B) という意味です。

イコールが成り立たなくても、＜ のほうが成り立っていれば、
質問の式は成立します。イコールが成立する n の例を探す必要は、ありません。

No.2 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2012/03/26 22:12

＞n^2≦n^2＋１　これってありえるんですか？

おっしゃるとおり、n^2 ≠ n^2 + 1となります。しかし、それでも、ここでは矛盾したことが述べられているわけではありません。

タイトルのところに「n^2 ≦ (その数)^2 ＜ (n + 1)^2」と書かれていますね。この不等式が先にあり、これを使った議論をしているのです。ですから、n^2 ＝ n^2 + 1を成り立たせるような、すなわち上の不等式で等号を成り立たせるようなnが、存在するか否かは、考慮されていないという意味です。

つまり、こういうことです。「n^2 ＜ n^2 + 1」という不等式がある。この不等式を満たすnであれば何でも、必ず「n^2 ≦ n^2 + 1 (＝ (√(n^2 + 1))^2)」という式「も」満たすはず。この式の形はたまたま、「n^2 ≦ (その数)^2 ＜ (n + 1)^2」の式と同じ形をしているではないか。ということです。

タイトルの形の不等式を書けたということは、「2^2 ≦ x ＜ 3^2を満たすxは何でも2 ≦ x ＜ 3を成り立たせる」（＊）というのと同じ問題として、話を進めることができるということです。タイトルの不等式を使いたかったということです。

＊こういう理屈が成り立つことは、明らかですね？y = x^2 (x ≧ 0)のグラフは単調増加ですから、そうなります。

ちなみに、n^2 + 1 ＜ (n + 1)^2が成り立つ理由は大丈夫ですね？右辺を展開すればいいだけです。

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2012/03/26 22:08

ご指摘のように、

n^2 ≦ {√(n^2 + 1)^2

という不等式は、

n^2 < {√(n^2 + 1)^2

と書くのが普通です。

ですが、等号を入れると間違い、というわけではありません。

n^2 ≦ n^2 + 1

というのも、一応は正しい不等式です。