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・まず、a_n<-1 が常に成り立つことを示します。
(1) n=1,2のときは定義から成り立つ。
(2) n=3のときはa_3=1-|-3|+(-2)=-4<-1となるから成り立つ。
(3) n=k+1まですべて成り立つと仮定してn=k+2のときは、a_{k+1}<-1だから|a_{k+1}|=-a_{k+1}となり、
a_{k+2}=1-|a_{k+1}|+a_k=1-(-a_{k+1})+a_k=1+a_{k+1}+a_k<1+(-1)+(-1)=-1
となるから、a_{k+2}<-1が成り立つ。
したがって、数学的帰納法により、a_n<-1が常に成り立つ。
・つぎに、本題のa_{n+1}<a_nを示します。
(1) n=1のときは定義から成り立つ。
(2) n=2のときはa_3=-4<-3=a_2となるから成り立つ。
(3) n=kのときに成り立つと仮定してn=k+1のときは、
a_{(k+1)+1}=a_{k+2}=1+a_{k+1}+a_k
となる。ここで、任意のnに対してa_n<-1だから、1+a_k<0となり、
a_{(k+1)+1}=a_{k+1}+(1+a_k)<a_{k+1}+0=a_{k+1}
が成り立つ。
したがって、数学的帰納法により、a_{n+1}<a_nが常に成り立つ。
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