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G:正規部分群、A:Gの正規部分群、B:Aの特性部分群
とするとき、BはGの正規部分群となること

この証明が分かりません。
どうやって証明すればいいのでしょうか?
ご教授よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

定義からほとんど自明ではなかろうか・・・・



Bの任意の元bとGの任意の元gをとって
gbg^{1}がBの元であることを示せばよい.

Gの任意の元gに対してGの内部自己同型f(g)を
f(g)(x)=gxg^{-1}
で定める.

AがGの正規部分群であるのだからf(g)(A)=A.
よってf(g)はAの自己同型.

さらに,BはAの特性部分群なのだから
f(g)(B)=B
つまり
Bの任意の元bとgに対して
gbg^{-1}はBの元

よって
BはGの正規部分群.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに自明ですね。

お礼日時:2012/04/02 03:23

特性部分群の意味を知っていたら、自明だと思いますが。



正規部分群は全ての内部自己同型について不変な群。
特性部分群は全ての自己同型について不変な群。
当然ながら、内部自己同型は自己同型の1種ですから、
全ての自己同型について不変ならば、全ての内部自己同型について不変です。
従って、特性部分群は正規部分群です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
なぜ分からなかったのか自分でも分かりません。

お礼日時:2012/04/02 03:23

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