球円上の運動の角速度ベクトルを求めるのに

Ω=2/(dE/dt+ExdE/dt)/(1+|E|^2)

という計算式がでてきました。
この数式の意味を教えて下さい。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

どういう運動をしているのかがまだつかめていません。



>球体が三次元で回転するとします。
球体は同じ位置で回転しているのでしょうか?

>その球体の位置を角速度ベクトル(Ω)として求める
この文章が少しわかっていません。

>nは回転軸
これは、nが回転軸方向の単位ベクトルということでいいのですか。

>Ω=2/(dE/dt+ExdE/dt)/(1+|E|^2)
この式は間違ってないですか。
nikorin さんも仰っておられるようにベクトルで割り算してますし、
次元を考えると(dE/dt+ExdE/dt)が分母でなく分子にあるなら
Ωは角速度の次元になりますけど。
あと、ExdE/dt は E と dE/dt の外積ということで良いのでしょうか。
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うーん、回転ベクトルEというのが何者なのかわかりません。


ほかにわかる方いませんかぁ..(泣)

> その球体の位置を角速度ベクトル(Ω)として求める..
球体の回転..では?

> Ω=2/(dE/dt+ExdE/dt)/(1+|E|^2)
は間違っていませんか?
ベクトルで割り算してますけど..
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ΩとEはどういう定義をされていますか?


補足をお願いします。

この回答への補足

大変わかりにくくてすみません。もう一度質問します。

球体が三次元で回転するとします。
球体は水平回転、垂直回転、回旋といろいろの運動があります。
その球体の位置を角速度ベクトル(Ω)として求めるときの式です。

回転ベクトルをEとすると、
   E=tan(p/2)n   nは回転軸   pはそのn軸回転の角度
で表され、このEから角速度ベクトル(Ω)を次式で求めます。
   Ω=2/(dE/dt+ExdE/dt)/(1+|E|^2)
 
またまたわかりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。

補足日時:2001/05/10 15:40
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Q角速度ベクトルについて

初歩的な質問ですいません。
質点の位置ベクトルがr=(acosωt,asinωt,0)の時
質点の角速度ベクトルωはどのようにして求めるのでしょうか?

Aベストアンサー

一般的には r↑ x v↑ = r^2・ω↑ という関係を使います。
r=|r↑|
覚えておくと便利ですよ。
#↑はベクトルをあらわす。
#角速度ベクトルは回転中心がないと決まりません。この場合原点です。

r↑ = (acosωt, asinωt, 0) (a >= 0 とする)
v↑ = (-aωsinωt, aωcosωt, 0)
r↑ x v↑ = (0, 0, a^2ω) = r^2・ω↑
#ωとω↑を混同しないように(^^;

r = √((acosωt)^2+(asinωt)^2) = a

なので ω↑=(0, 0, ω)

Q角速度のベクトルの方向は何故回転軸なんでしょうか

角速度のベクトルの方向は、回転軸になるというのが納得できません。
例えば、極座標系で、ある粒子がZ軸を中心に右周りに半径を変えず回転していたとして、
位置ベクトルが(s,0,z)だとして、
速度ベクトルは(ds/dt, s*(dθ/dt),dz/dt)=(0,s*(dθ/dt),0)になると思うのですが、
この点からしてもZ軸については速度が0のはずです。
粒子が動いているのは勿論θ方向なので、直感的に(0,Ω,0)がしっくりきます。
なのに、速度ベクトルΩが何故(0,0,Ω)になってしまうんでしょうか。。
どなたか分かる方教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たんに、約束事です。
回転系のベクトルは、右ねじが回転した時に進む方向にとる。という決まりがあるだけのことで、実際の動きとは関係ありません。
こういう向きに決めておくと、なにかと計算上便利ということもありますが。

Q角速度ベクトルの方向がkである理由 (お願いします

こんにちは、

確認というか、もし間違っておりましたらご指摘頂きたくどうか勉強させて下さい。
宜しくお願いします。

物理の力学と数学的なお話になるかと思います。
ある点がXY平面状を円運動しているとお考え下さい。その角速度をベクトル表記する場合に
ω = |ω|k
とすることを習いました(ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、ベクトルとお考え下さい)。

なぜ、k、つまりz軸方向の単位ベクトルを使うのでしょうか。
kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。
教科書をよく読んだのですが、このωベクトルは、
「k方向軸を回転軸とする大きさ|ω|の回転を表している」
と突如、数学のルールもなにも無視したような理解の押し付けをされた気がしました。

例えば、x軸方向で大きさ|V|の速度ベクトルを表すならば、
V = |V|i
で全く理解できますが、上記の角速度ベクトルについては??のままでした。
このような半信半疑の状態のまま、教科書を進んでいくと、回転運動をしている点の線速度、線加速度ををベクトル表記するというように進んできました: 線速度ベクトルV、線加速度ベクトルa

すると、位置ベクトルR、および最終的に外積を使って、
V = ω X R
と表すことができるのですね。
ここにきて、ようやく、「もしかしたら・・・」
という考えが湧きました。

角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R
としたかったからではないでしょうか。
ベクトル表記を使わない場合で、|V| = |ω||R|
というのは既に分かってますし、これに酷似した表記として
V = ω X R というようにしたかった、のではないかと思いました。
このように表記したかったとしたら、外積の定義から考えて、
確かにωはkベクトルをつかって表記する必要があります。

とこのように、私の出した結論は、角速度ベクトルをkベクトルを使って
表すのは、「便宜上、そうすると都合が良い」、ではないかと思いました。

いかがでしょうか。同様に、角加速度ベクトルαを表すのにkベクトルを使うのも
a = α X R
という形で表したかったのではないかと考えています。

以上、分かり辛い文面になっていることかと思いますが、どうもお伝えするのが難しいニュアンスのことを伺っておりまして、このようになっておりますことご容赦下さい。
また、改めて申し上げますが、ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、
ベクトルとお考え下さい。

私なりにかなり悩み抜いた末の、結論なのですが、どうか
ご確認の程、どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、

確認というか、もし間違っておりましたらご指摘頂きたくどうか勉強させて下さい。
宜しくお願いします。

物理の力学と数学的なお話になるかと思います。
ある点がXY平面状を円運動しているとお考え下さい。その角速度をベクトル表記する場合に
ω = |ω|k
とすることを習いました(ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、ベクトルとお考え下さい)。

なぜ、k、つまりz軸方向の単位ベクトルを使うのでしょうか。
kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。
教...続きを読む

Aベストアンサー

>角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R としたかったからではないでしょうか。

 その通りだと思います。

 ただし数学的形式である外積と、物理的回転には、想像以上の関連があります。

 まず角速度ベクトルを考えるためには、線速度を考えなければなりません。そして線速度を定義するためには、無限小の変位ベクトルを考える必要があります。そこで、無限小の回転による、位置ベクトルの変化(無限小の変位ベクトル)を考察します。

 Tを無限小の回転を表す直交行列とします。Tの具体的形は、添付図の(1)のようなものです。(1)ではδ~0で、(1)はxy平面内の微小な回転を表す、回転行列と了解できると思います。回転行列とは直交行列の事である事も、ご存知と思います。

 回転による微小変位ベクトルdRとは、Rを位置ベクトル,Eを単位行列として、

  dR=TR-R=TR-ER=(T-E)R    (1)

の事だというのは、OKですよね?。ここでT-E=εとおけば、εは、微小な回転変位(微小な回転による単位行列からのずれ)を表す行列です。T=ε+Eです。εの成分は、その定義から微小です。


 εの性質を調べます。

 ^tを、行列の転置を表すとして、TとT^tの積を取れば、

  T・T^t=(ε+E)(ε+E)^t=(ε+E)(ε^t+E)=ε・ε^t+ε+ε^t+E → ε+ε^t+E   (2)

になります。(2)の最後の、→の部分は、εの成分が微小なので、その積ε・ε^tを落としても、時間微分には影響しないという意味です。Tなんか考えたのは、(1)の時間微分((1)をdtで割る)を考えるためです。


 ここで直交行列の定義を思い出します。それは、T・T^t=Eでした(これも、ご存知と思います)。これと、(2)の一番右側を等置すると、ε+ε^t+E=Eより、

  ε+ε^t=0

となります。つまり無限小回転変位(dtで割れば回転の線速度v)を表す行列εは、反対称行列です。ところが反対称行列というのは一般的に、添付画像の(2)のように表せます。それにR=(x,y,z)^tとして、Rをかければ、貼付画像の(3)のようになり、外積の定義に、ぴったり一致します。

  ・本当は、こちらの事情が先にあったんです.

 なので、外積(擬ベクトル)とは、#7さんの仰るように、反対称テンソル(反対称行列)の「省略記法」の事です。そしてそれが有効なのは、3次元に限られます。3次の反対称行列の独立な成分数は(たまたま)3なので、ちょうど3次元のベクトルと同様な挙動を示す、という意味です。これが#7さんの、

>反対称テンソルを用いた方が,3次元「空間」に対する記述としてはキレイに思われる面もあります。しかし,数学的操作としてはより簡単ともいいがたいので,ベクトル積という中間的な方法をとっているということもできます。

の意図だと思います。


 これが、V=ω×Rの正体です。そして少し調べるとすぐわかりますが、ωには、角速度の大きさも回転軸も方位も、およそ回転に必要な全ての情報が含まれています。こうなると角速度ベクトルωを用いる事は、もはや必然です。


 このような説明を受けた(?)のは、ゴールドスタインの古典力学の剛体運動の章を読んだ時でした。以上のような説明が書いてある本を自分は、これ本以外には知りません。特に数学関係の本は全滅です(それにはそれで、理由があります)。

 ゴールドスタインを読んだとき初めて、回転と外積と擬ベクトルの概念の意味がわかりました。そして3次の反対称テンソルを、(擬)ベクトルとみなすと言いだしたのは、恐らく19世紀のグラスマンです。

 グラスマンは学生時に数学科だったにも関わらず、神学科の講義ばかり聴いていて、それらの影響で外積などを着想したそうです。つまり外積や擬ベクトルは、出自の物が物だけに、素人にはかなり抽象度の高い概念だと思います。初見で「なんだこりゃっ?」と思うのは、むしろ当然(そっちの方が素直)と自分には思えます。


>概念の後先を論じることにはあまり意味を認めませんが、
>>(2)v=ω×r となるように角速度ベクトルを定義した
>とお考えになっても
>>もしくは、
>>(3)v=ω×rとなるように、ベクトルの外積を定義した
>とお考えになっても構わないと思います。ご自身で、納得がいく物語を作ることって、悪いことではないと思いますから。

 #5さんの応答には、自分も全く同意します。でも、「ご自身で、納得がいく物語を作る」ろうとすると結局、「概念の後先を論じること」になるんですよね。これが自分の感想です。


 いやぁ~、自分の同じような感覚を持っていらっしゃる人はいるんだな、と今回は思いました(^^)。ただし、その感覚に忠実過ぎると、確かに学習効率は落ちます。その辺が悩ましい所ですよね?(^^;)。

>角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R としたかったからではないでしょうか。

 その通りだと思います。

 ただし数学的形式である外積と、物理的回転には、想像以上の関連があります。

 まず角速度ベクトルを考えるためには、線速度を考えなければなりません。そして線速度を定義するためには、無限小の変位ベクトルを考える必要があります。そこで、無限小の回転による、位置ベクトルの変化(無限小の変位ベクトル)を考察します。

 Tを無限小の回転を表す直交行列とします。Tの具体的形は...続きを読む

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q円柱と円の方程式

円柱と円の方程式

円柱の方程式を調べてみたところ、

x^2+y^2=1

と分かりました。
しかし、これは、半径1の円の方程式ではないのでしょうか?

また、x^2+y^2=x というようなものも発見しました。
これも円柱の方程式なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

x^2+ y^2= 1に加えて
・「z= 0」や「z= 1」や「xy平面上において」などとあれば、円になります。
・特に、何も書かれてなければ、zはなんでもよいことになるので、無限に長い円柱(円筒?)になります。
・「0≦ z≦ 5」などと書かれていれば、高さが 5の円柱になります。

空間図形を考えるときには、x, y, zの 3つの座標を考えることになりますから、何も書かれてなければ自由に値をとっていいことになります。

ただし、座標の値は実数ですから、x^2+ y^2+ z^2= 1(半径 1の球)といった場合には、何も書かれてなくても取り得る値に制限がかかります。
(実数であることがある意味制限ですね。)

Qオイラーの連鎖式の導出について

z=f(x、y)とするとき、
オイラーの連鎖を導くために使う下式、

(∂z/∂x) = -(∂z/∂y)(∂y/∂x)

が出ません。どうすればしいのですか?

Aベストアンサー

質問の式を使って連鎖率を証明しよう…
という方針が、そもそもよくない。
連鎖率は、多変数関数のテイラー展開に
各変数のテイラー展開を代入すれば、
簡潔かつ直感的に証明することができる。
その上で、質問の式は、連鎖率を使って
証明すると簡単に済む。 連鎖率から
dy/dx = (∂y/∂x)+(∂y/∂z)(dz/dx),
dz/dx = (∂z/∂x)+(∂z/∂y)(dy/dz)
だが、両式から dy/dx を消去すると、
(1-(∂z/∂y)(∂y/∂z))(dz/dx) = (∂z/∂x)+(∂z/∂y)(∂y/∂x)  …(*).
x が一定の条件下に、逆関数の微分則より
∂y/∂z = 1/(∂z/∂y) だから、
(*)式左辺=0 より 右辺=0 となって、
与式が得られる。


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