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曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ

(1)概形を求めよ。

(2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ

(3)この曲線の長さを求めよ

この問題の解答よろしくお願いします

ちなみに、(1)は出来ればで結構です(汗)

gooドクター

A 回答 (2件)

(1)


概形は添付図の通り。
x(t)がtの偶関数、y(t)がtの奇関数なのでグラフはx軸対称。
t=0~√3の時 x=0~9,y=t(3-t^2)=y1(t)≧0
t=-√3~0の時 x=9~0,y=t(3-t^2)=y2(-t)≦0
y2(t)=-y1(t)≦0(0≦t≦√3)
t=1でy=y1(t)は最大値y(1)=y1(1)=2,t=-1でy(t)=y2(-t)は
最小値y(-1)=y2(1)=-2をとる。
という性質があります。

(2)
グラフがx軸対称なので
面積
S=∫[0→9] {y1(t)-y2(-t)}dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→9] 2y1(t)dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→√3] 2y1(t)(dx/dt)dt
=∫[0→√3] 2(3t-t^3)(6t)dt
=12∫[0→√3] (3t^2-t^4)dt
=12[t^3-(1/5)t^5][0→√3]
=(72/5)√3

(3)
グラフがx軸対称なので曲線の長さLは0≦t≦√3の部分を求め2倍すれば良い。
曲線長
L=2∫[0→√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=2∫[0→√3]√{(6t)^2+(3-3t^2)^2}dt
=2∫[0→√3]√{9(t^2+1)^2}dt
=6∫[0→√3](t^2+1)dt
=6[(1/3)t^3 +t][0→√3]
=12√3
=∫[0→9] 2y1(t)(dx/dt)dt
「微分積分の問題7です」の回答画像2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
図の添付もあったのでとてもわかりやすかったです。
途中の説明にも感謝です。

お礼日時:2012/04/07 18:19

>曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ



(1)概形を求めよ。

>(2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ
x=3t^2≧0,t=±√3のとき、x=9より、0≦x≦9
dx/dt=6t
∫[0~9]ydx
=∫[-√3~√3]y(dx/dt)dt
=∫[-√3~√3](3t-t^3)・6tdt
=2×6∫[0~√3](3t^2-t^4)dt

>(3)この曲線の長さを求めよ
dy/dt=3-3t^2=3(1-t^2)
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2
=(6t)^2+3^2(1-t^2)^2
=9(1+t^2)^2より、
√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=3(1+t^2)
∫[-√3~√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=∫[-√3~√3]3(1+t^2)dt
=2×3∫[0~√3](1+t^2)dt

後は計算してみて下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
個人的にとても複雑な計算であったので質問して良かったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2012/04/07 18:17

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